Cálculo Ejemplos

$y^{4} - 4 y^{2} = x^{4} - 9 x^{2}$ , $(3, 2)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{4} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 9 x^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{4} - 4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 y^{3} y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y y')$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 (2 x)$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$4 x^{3} - 18 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Factoriza $4 y y'$ de $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $4 y y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

Paso 5.1.2

Factoriza $4 y y'$ de $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 18 x$

Paso 5.1.3

Factoriza $4 y y'$ de $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$

Paso 5.2

Divide cada término en $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ por $4 y (y^{2} - 2)$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ por $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $y^{2} - 2$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 18$ y $4$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 18 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Paso 5.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Paso 5.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Paso 7

Reemplaza $x$ con $3$ y $y$ con $2$ en la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(3)}^{3}}{(2) ({(2)}^{2} - 2)} - \frac{9 (3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Paso 8

Simplifica el resultado.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{27}{2 (2^{2} - 2)} - \frac{9 (3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Paso 8.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{27}{2 (4 - 2)} - \frac{9 (3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Paso 8.1.2.2

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{27}{2 \cdot 2} - \frac{9 (3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Paso 8.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{9 (3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Paso 8.1.4

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{2 (2) (2^{2} - 2)}$

Paso 8.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4 (2^{2} - 2)}$

Paso 8.1.6

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1.6.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4 (4 - 2)}$

Paso 8.1.6.2

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4 \cdot 2}$

Paso 8.1.7

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{8}$

Paso 8.2

Para escribir $\frac{27}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{8}$

Paso 8.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.1

Multiplica $\frac{27}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{27}{8}$

Paso 8.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{27 \cdot 2}{8} - \frac{27}{8}$

Paso 8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{27 \cdot 2 - 27}{8}$

Paso 8.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.5.1

Multiplica $27$ por $2$ .

$\frac{54 - 27}{8}$

Paso 8.5.2

Resta $27$ de $54$ .

$\frac{27}{8}$