Cálculo Ejemplos

$y^{2} + 4 y + 7 x = 0$ ; $(- 3, 3)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y^{2} + 4 y + 7 x) = \frac{d}{d y} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 4 y + 7 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [7 x]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [7 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [7 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 y + 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [7 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [7 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$2 y + 4 + \frac{d}{d y} [7 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [7 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $y$ es $7 \frac{d}{d y} [x]$ .

$2 y + 4 + 7 \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 y + 4 + 7 x'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$2 y + 7 x' + 4$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y + 7 x' + 4 = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x' + 4 = - 2 y$

Paso 5.1.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x' = - 2 y - 4$

Paso 5.2

Divide cada término en $7 x' = - 2 y - 4$ por $7$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $7 x' = - 2 y - 4$ por $7$ .

$\frac{7 x'}{7} = \frac{- 2 y}{7} + \frac{- 4}{7}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x'}{7} = \frac{- 2 y}{7} + \frac{- 4}{7}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 2 y}{7} + \frac{- 4}{7}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{2 y}{7} + \frac{- 4}{7}$

Paso 5.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{2 y}{7} - \frac{4}{7}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 y}{7} - \frac{4}{7}$

Paso 7

Reemplaza $x$ con $- 3$ y $y$ con $3$ en la expresión.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 (3)}{7} - \frac{4}{7}$

Paso 8

Simplifica el resultado.

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Paso 8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 \cdot 3 - 4}{7}$

Paso 8.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6 - 4}{7}$

Paso 8.2.2

Resta $4$ de $- 6$ .

$\frac{- 10}{7}$

Paso 8.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10}{7}$