Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.2.3

Multiplica ${(x - 9)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 9$ .

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Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 9$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 9$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.4.2

Factoriza $x - 9$ de ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

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Paso 1.1.4.2.1

Factoriza $x - 9$ de ${(x - 9)}^{2}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.4.2.2

Factoriza $x - 9$ de $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.4.2.3

Factoriza $x - 9$ de $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Paso 1.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.5.1

Factoriza $x - 9$ de ${(x - 9)}^{4}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.8

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.9

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.9.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.9.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.9.3

Resta $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.10

Simplifica.

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Paso 1.1.10.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.10.2

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{- (x) - 1 (9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.10.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.10.4

Reescribe $- (x + 9)$ como $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.1.10.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x + 9 = 0$

Paso 2.3

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 9)}^{3} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 4

Evalúa $\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 9$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 9$ por $x$ .

$\frac{- 9}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.1.1

Resta $9$ de $- 9$ .

$\frac{- 9}{{(- 18)}^{2}}$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 9}{324}$

Paso 4.1.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 9$ y $324$ .

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Paso 4.1.2.2.1.1

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$\frac{9 (- 1)}{324}$

Paso 4.1.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.2.1.2.1

Factoriza $9$ de $324$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 36}$

Paso 4.1.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 36}$

Paso 4.1.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{36}$

Paso 4.1.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{36}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 9$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $9$ por $x$ .

$\frac{9}{{((9) - 9)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{9}{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{9}{0}$

Paso 4.2.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(- 9, - \frac{1}{36})$

Paso 5