Cálculo Ejemplos

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 \sec (x)$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $- 5 \sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

Paso 1.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Paso 1.2.3

Establece $\sec (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Establece $\sec (x)$ igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

Paso 1.2.3.2

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 1.2.4

Establece $\tan (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $\tan (x)$ igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $\tan (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Paso 1.2.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.2.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.4.2.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + 0$

Paso 1.2.4.2.4

Suma $π$ y $0$ .

$x = π$

Paso 1.2.4.2.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 1.2.4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 1.2.4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 1.2.4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 1.2.4.2.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 1.2.4.2.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π n, π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ verdadera.

$x = π n, π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.6

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el argumento en $\sec (x)$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.4

Evalúa $- 5 \sec (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$- 5 \sec (0)$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$- 5 \cdot 1$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 5$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = π$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $π$ por $x$ .

$- 5 \sec (π)$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el segundo cuadrante.

$- 5 (- \sec (0))$

Paso 1.4.2.2.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.4.2.2.3

Multiplica $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 1.4.2.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Paso 1.4.2.2.3.2

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$5$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(0, - 5), (π, 5)$

Paso 3

Usa la prueba de la segunda derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.

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Paso 3.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 3.1.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 \sec (x) \tan (x)$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 3.1.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 3.1.4

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Paso 3.1.4.1.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 3.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 3.1.4.2

Suma $1$ y $2$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 3.1.5

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Paso 3.1.6

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Paso 3.1.7

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Paso 3.1.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Paso 3.1.9

Suma $1$ y $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Paso 3.1.10

Simplifica.

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Paso 3.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Paso 3.1.10.2

Reordena los términos.

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

Paso 3.2

Sustituye $0$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Paso 3.2.2

Evalúa $\tan (0)$ .

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Paso 3.2.3

Eleva $0$ a la potencia de $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Paso 3.2.4

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Paso 3.2.5

Evalúa $\sec (0)$ .

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

Paso 3.2.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

Paso 3.2.7

Evalúa $\sec (0)$ .

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

Paso 3.2.8

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Paso 3.2.9

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$0 - 5$

Paso 3.2.10

Resta $5$ de $0$ .

$- 5$

Paso 3.3

Dado que la segunda derivada es negativa en $0$ , se trata de un máximo.

$0$ es un máximo local

Paso 3.4

Sustituye $π$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Sustituye $π$ por $x$ .

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Paso 3.4.2

Evalúa $\tan (π)$ .

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Paso 3.4.3

Eleva $0$ a la potencia de $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Paso 3.4.4

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Paso 3.4.5

Evalúa $\sec (π)$ .

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

Paso 3.4.6

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

Paso 3.4.7

Evalúa $\sec (π)$ .

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

Paso 3.4.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$0 - 5 \cdot - 1$

Paso 3.4.9

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$0 + 5$

Paso 3.4.10

Suma $0$ y $5$ .

$5$

Paso 3.5

Dado que la segunda derivada es positiva en $π$ , se trata de un mínimo.

$π$ es un mínimo local

Paso 3.6

Enumera los extremos locales

$0$ es un máximo local

$π$ es un mínimo local

$0$ es un máximo local

$π$ es un mínimo local

Paso 4

Compara los valores de $g (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $g (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $g (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, - 5)$

Mínimo absoluto: $(π, 5)$

Paso 5