Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + 8 \cos (x)$ , $[0, 2 π]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 8 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$1 + 8 (- \sin (x))$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f' (x) = 1 - 8 \sin (x)$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $1 - 8 \sin (x)$ .

$1 - 8 \sin (x)$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $1 - 8 \sin (x) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$1 - 8 \sin (x) = 0$

Paso 1.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 \sin (x) = - 1$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $- 8 \sin (x) = - 1$ por $- 8$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $- 8 \sin (x) = - 1$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 8}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{8}$

Paso 1.2.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{8})$

Paso 1.2.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.1

Evalúa $\arcsin (\frac{1}{8})$ .

$x = 0.12532783$

Paso 1.2.6

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = (3.14159265) - 0.12532783$

Paso 1.2.7

Resuelve $x$

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Paso 1.2.7.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 - 0.12532783$

Paso 1.2.7.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) - 0.12532783$

Paso 1.2.7.3

Resta $0.12532783$ de $3.14159265$ .

$x = 3.01626482$

Paso 1.2.8

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 1.2.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.8.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.8.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.9

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.12532783 + 2 π n, 3.01626482 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x + 8 \cos (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0.12532783$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0.12532783$ por $x$ .

$(0.12532783) + 8 \cos (0.12532783)$

Paso 1.4.1.2

Suma $0.12532783$ y $8 \cos (0.12532783)$ .

$8.06258176$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 0.12532783 + 2 π$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $0.12532783 + 2 π$ por $x$ .

$(0.12532783 + 2 π) + 8 \cos (0.12532783 + 2 π)$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Suma $0.12532783$ y $2 π$ .

$0.12532783 + 2 π + 8 \cos (6.40851313)$

Paso 1.4.2.2.2

Suma $0.12532783$ y $2 π$ .

$6.40851313 + 8 \cos (6.40851313)$

Paso 1.4.2.2.3

Suma $6.40851313$ y $8 \cos (6.40851313)$ .

$14.34576707$

Paso 1.4.3

Evalúa en $x = 0.12532783 + 4 π$ .

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Paso 1.4.3.1

Sustituye $0.12532783 + 4 π$ por $x$ .

$(0.12532783 + 4 π) + 8 \cos (0.12532783 + 4 π)$

Paso 1.4.3.2

Simplifica.

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Paso 1.4.3.2.1

Suma $0.12532783$ y $4 π$ .

$0.12532783 + 4 π + 8 \cos (12.69169844)$

Paso 1.4.3.2.2

Suma $0.12532783$ y $4 π$ .

$12.69169844 + 8 \cos (12.69169844)$

Paso 1.4.3.2.3

Suma $12.69169844$ y $8 \cos (12.69169844)$ .

$20.62895237$

Paso 1.4.4

Evalúa en $x = 0.12532783 + 6 π$ .

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Paso 1.4.4.1

Sustituye $0.12532783 + 6 π$ por $x$ .

$(0.12532783 + 6 π) + 8 \cos (0.12532783 + 6 π)$

Paso 1.4.4.2

Simplifica.

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Paso 1.4.4.2.1

Suma $0.12532783$ y $6 π$ .

$0.12532783 + 6 π + 8 \cos (18.97488375)$

Paso 1.4.4.2.2

Suma $0.12532783$ y $6 π$ .

$18.97488375 + 8 \cos (18.97488375)$

Paso 1.4.4.2.3

Suma $18.97488375$ y $8 \cos (18.97488375)$ .

$26.91213768$

Paso 1.4.5

Evalúa en $x = 0.12532783 + 8 π$ .

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Paso 1.4.5.1

Sustituye $0.12532783 + 8 π$ por $x$ .

$(0.12532783 + 8 π) + 8 \cos (0.12532783 + 8 π)$

Paso 1.4.5.2

Simplifica.

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Paso 1.4.5.2.1

Suma $0.12532783$ y $8 π$ .

$0.12532783 + 8 π + 8 \cos (25.25806905)$

Paso 1.4.5.2.2

Suma $0.12532783$ y $8 π$ .

$25.25806905 + 8 \cos (25.25806905)$

Paso 1.4.5.2.3

Suma $25.25806905$ y $8 \cos (25.25806905)$ .

$33.19532299$

Paso 1.4.6

Evalúa en $x = 3.01626482$ .

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Paso 1.4.6.1

Sustituye $3.01626482$ por $x$ .

$(3.01626482) + 8 \cos (3.01626482)$

Paso 1.4.6.2

Suma $3.01626482$ y $8 \cos (3.01626482)$ .

$- 4.92098911$

Paso 1.4.7

Evalúa en $x = 3.01626482 + 2 π$ .

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Paso 1.4.7.1

Sustituye $3.01626482 + 2 π$ por $x$ .

$(3.01626482 + 2 π) + 8 \cos (3.01626482 + 2 π)$

Paso 1.4.7.2

Simplifica.

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Paso 1.4.7.2.1

Suma $3.01626482$ y $2 π$ .

$3.01626482 + 2 π + 8 \cos (9.29945012)$

Paso 1.4.7.2.2

Suma $3.01626482$ y $2 π$ .

$9.29945012 + 8 \cos (9.29945012)$

Paso 1.4.7.2.3

Suma $9.29945012$ y $8 \cos (9.29945012)$ .

$1.36219619$

Paso 1.4.8

Evalúa en $x = 3.01626482 + 4 π$ .

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Paso 1.4.8.1

Sustituye $3.01626482 + 4 π$ por $x$ .

$(3.01626482 + 4 π) + 8 \cos (3.01626482 + 4 π)$

Paso 1.4.8.2

Simplifica.

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Paso 1.4.8.2.1

Suma $3.01626482$ y $4 π$ .

$3.01626482 + 4 π + 8 \cos (15.58263543)$

Paso 1.4.8.2.2

Suma $3.01626482$ y $4 π$ .

$15.58263543 + 8 \cos (15.58263543)$

Paso 1.4.8.2.3

Suma $15.58263543$ y $8 \cos (15.58263543)$ .

$7.6453815$

Paso 1.4.9

Evalúa en $x = 3.01626482 + 6 π$ .

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Paso 1.4.9.1

Sustituye $3.01626482 + 6 π$ por $x$ .

$(3.01626482 + 6 π) + 8 \cos (3.01626482 + 6 π)$

Paso 1.4.9.2

Simplifica.

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Paso 1.4.9.2.1

Suma $3.01626482$ y $6 π$ .

$3.01626482 + 6 π + 8 \cos (21.86582074)$

Paso 1.4.9.2.2

Suma $3.01626482$ y $6 π$ .

$21.86582074 + 8 \cos (21.86582074)$

Paso 1.4.9.2.3

Suma $21.86582074$ y $8 \cos (21.86582074)$ .

$13.92856681$

Paso 1.4.10

Evalúa en $x = 3.01626482 + 8 π$ .

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Paso 1.4.10.1

Sustituye $3.01626482 + 8 π$ por $x$ .

$(3.01626482 + 8 π) + 8 \cos (3.01626482 + 8 π)$

Paso 1.4.10.2

Simplifica.

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Paso 1.4.10.2.1

Suma $3.01626482$ y $8 π$ .

$3.01626482 + 8 π + 8 \cos (28.14900605)$

Paso 1.4.10.2.2

Suma $3.01626482$ y $8 π$ .

$28.14900605 + 8 \cos (28.14900605)$

Paso 1.4.10.2.3

Suma $28.14900605$ y $8 \cos (28.14900605)$ .

$20.21175211$

Paso 1.4.11

Enumera todos los puntos.

$(0.12532783, 8.06258176), (0.12532783 + 2 π, 14.34576707), (0.12532783 + 4 π, 20.62895237), (0.12532783 + 6 π, 26.91213768), (0.12532783 + 8 π, 33.19532299), (3.01626482, - 4.92098911), (3.01626482 + 2 π, 1.36219619), (3.01626482 + 4 π, 7.6453815), (3.01626482 + 6 π, 13.92856681), (3.01626482 + 8 π, 20.21175211)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(0.12532783, 8.06258176), (3.01626482, - 4.92098911)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$(0) + 8 \cos (0)$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $8$ por $1$ .

$0 + 8$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $8$ .

$8$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 2 π$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $2 π$ por $x$ .

$(2 π) + 8 \cos (2 π)$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 π + 8 \cos (0)$

Paso 3.2.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 π + 8 \cdot 1$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$2 π + 8$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 8), (2 π, 2 π + 8)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(2 π, 2 π + 8)$

Mínimo absoluto: $(3.01626482, - 4.92098911)$

Paso 5