Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{5} - 5 x^{6}$ ; $(- \infty, \infty)$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{5} - 5 x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{5}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $5$ por $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{6}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$30 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$30 x^{4} - 5 (6 x^{5})$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $6$ por $- 5$ .

$30 x^{4} - 30 x^{5}$

Paso 1.1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 30 x^{5} + 30 x^{4}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{5} + 30 x^{4}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 30 x^{5} + 30 x^{4} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 30 x^{5} + 30 x^{4} = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $- 30 x^{4}$ de $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $- 30 x^{4}$ de $- 30 x^{5}$ .

$- 30 x^{4} x + 30 x^{4} = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $- 30 x^{4}$ de $30 x^{4}$ .

$- 30 x^{4} x - 30 x^{4} \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $- 30 x^{4}$ de $- 30 x^{4} (x) - 30 x^{4} (- 1)$ .

$- 30 x^{4} (x - 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{4} = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x^{4}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x^{4}$ igual a $0$ .

$x^{4} = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $x^{4} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Paso 1.2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 30 x^{4} (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $6 x^{5} - 5 x^{6}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$6 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{6}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$6 \cdot 0 - 5 {(0)}^{6}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{6}$

Paso 1.4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 5 \cdot 0$

Paso 1.4.1.2.1.4

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$6 {(1)}^{5} - 5 {(1)}^{6}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$6 \cdot 1 - 5 {(1)}^{6}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 - 5 {(1)}^{6}$

Paso 1.4.2.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$6 - 5 \cdot 1$

Paso 1.4.2.2.1.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$6 - 5$

Paso 1.4.2.2.2

Resta $5$ de $6$ .

$1$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (1, 1)$

Paso 2

Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.

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Paso 2.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 2.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - 30 {(- 2)}^{5} + 30 {(- 2)}^{4}$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$f' (- 2) = - 30 \cdot - 32 + 30 {(- 2)}^{4}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $- 30$ por $- 32$ .

$f' (- 2) = 960 + 30 {(- 2)}^{4}$

Paso 2.2.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 2) = 960 + 30 \cdot 16$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $30$ por $16$ .

$f' (- 2) = 960 + 480$

Paso 2.2.2.2

Suma $960$ y $480$ .

$f' (- 2) = 1440$

Paso 2.2.2.3

La respuesta final es $1440$ .

$1440$

Paso 2.3

Sustituye cualquier número, como $0.5$ , del intervalo $(0, 1)$ en la primera derivada $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.5$ en la expresión.

$f' (0.5) = - 30 {(0.5)}^{5} + 30 {(0.5)}^{4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Eleva $0.5$ a la potencia de $5$ .

$f' (0.5) = - 30 \cdot 0.03125 + 30 {(0.5)}^{4}$

Paso 2.3.2.1.2

Multiplica $- 30$ por $0.03125$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 30 {(0.5)}^{4}$

Paso 2.3.2.1.3

Eleva $0.5$ a la potencia de $4$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 30 \cdot 0.0625$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $30$ por $0.0625$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 1.875$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 0.9375$ y $1.875$ .

$f' (0.5) = 0.9375$

Paso 2.3.2.3

La respuesta final es $0.9375$ .

$0.9375$

Paso 2.4

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(1, \infty)$ en la primera derivada $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = - 30 {(4)}^{5} + 30 {(4)}^{4}$

Paso 2.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$f' (4) = - 30 \cdot 1024 + 30 {(4)}^{4}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $- 30$ por $1024$ .

$f' (4) = - 30720 + 30 {(4)}^{4}$

Paso 2.4.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f' (4) = - 30720 + 30 \cdot 256$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $30$ por $256$ .

$f' (4) = - 30720 + 7680$

Paso 2.4.2.2

Suma $- 30720$ y $7680$ .

$f' (4) = - 23040$

Paso 2.4.2.3

La respuesta final es $- 23040$ .

$- 23040$

Paso 2.5

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 2.6

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 1$ , $x = 1$ es un máximo local.

$x = 1$ es un máximo local

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, 1)$

Sin mínimo absoluto

Paso 4