Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \cot (\frac{x}{2})$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{2})]$ .

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{2})]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 1.1.1.3.2.2

La derivada de $\cot (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc^{2} (u)$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 1.1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 1.1.1.3.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Paso 1.1.1.3.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{2})$

Paso 1.1.1.3.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$8 + 8 (- \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2})$

Paso 1.1.1.3.7

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$8 - 8 \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 1.1.1.3.8

Combina $- 8$ y $\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ .

$8 + \frac{- 8 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 1.1.1.3.9

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.9.1

Factoriza $2$ de $- 8 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2}$

Paso 1.1.1.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2 (1)}$

Paso 1.1.1.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$8 + \frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{1}$

Paso 1.1.1.3.9.2.4

Divide $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$f' (x) = 8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 0$

Paso 1.2.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{- 8}{- 4}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1

Divide $- 8$ por $- 4$ .

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = 2$

Paso 1.2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{2}$

Paso 1.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$

Paso 1.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$

Paso 1.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 1.2.6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$

Paso 1.2.7

Resuelve $x$ en $\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$ .

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Paso 1.2.7.1

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$\frac{x}{2} = arccsc (\sqrt{2})$

Paso 1.2.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.7.2.1

El valor exacto de $arccsc (\sqrt{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Paso 1.2.7.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 1.2.7.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.2.7.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 1.2.7.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Paso 1.2.7.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Paso 1.2.7.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.7.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{2}$

Paso 1.2.7.5

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.7.6

Resuelve $x$

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Paso 1.2.7.6.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{4})$

Paso 1.2.7.6.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.6.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{4})$

Paso 1.2.7.6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (π - \frac{π}{4})$

Paso 1.2.7.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.6.2.2.1

Simplifica $2 (π - \frac{π}{4})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.6.2.2.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Paso 1.2.7.6.2.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.7.6.2.2.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Paso 1.2.7.6.2.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 1.2.7.6.2.2.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.6.2.2.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{2 (2)}$

Paso 1.2.7.6.2.2.1.2.3.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.7.6.2.2.1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{2}$

Paso 1.2.7.6.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.6.2.2.1.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{2}$

Paso 1.2.7.6.2.2.1.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.2.7.7

Obtén el período de $\csc (\frac{x}{2})$ .

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Paso 1.2.7.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.7.7.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 1.2.7.7.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.7.7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 1.2.7.7.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 1.2.7.8

El período de la función $\csc (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{3 π}{2} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.8

Resuelve $x$ en $\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$ .

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Paso 1.2.8.1

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$\frac{x}{2} = arccsc (- \sqrt{2})$

Paso 1.2.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.8.2.1

El valor exacto de $arccsc (- \sqrt{2})$ es $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.8.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{4})$

Paso 1.2.8.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{4})$

Paso 1.2.8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (- \frac{π}{4})$

Paso 1.2.8.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.4.2.1

Simplifica $2 (- \frac{π}{4})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.4.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{4}$ al numerador.

$x = 2 \frac{- π}{4}$

Paso 1.2.8.4.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{- π}{2 (2)}$

Paso 1.2.8.4.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.8.4.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- π}{2}$

Paso 1.2.8.4.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.8.5

La cosecante es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Paso 1.2.8.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 1.2.8.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Paso 1.2.8.6.2

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4}$

Paso 1.2.8.6.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.6.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{4}$

Paso 1.2.8.6.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.6.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.6.3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{4}$

Paso 1.2.8.6.3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{5 π}{4}$

Paso 1.2.8.6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.8.6.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.6.3.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{5 π}{2 (2)}$

Paso 1.2.8.6.3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.8.6.3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5 π}{2}$

Paso 1.2.8.7

Obtén el período de $\csc (\frac{x}{2})$ .

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Paso 1.2.8.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.8.7.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 1.2.8.7.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.8.7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 1.2.8.7.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 1.2.8.8

Suma $4 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.8.1

Suma $4 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 4 π$

Paso 1.2.8.8.2

Para escribir $4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.8.8.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.8.3.1

Combina $4 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.8.8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 1.2.8.8.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.8.4.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8 π - π}{2}$

Paso 1.2.8.8.4.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{2}$

Paso 1.2.8.8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{7 π}{2}$

Paso 1.2.8.9

El período de la función $\csc (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.9

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{3 π}{2} + 4 π n, \frac{5 π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el argumento en $\csc (\frac{x}{2})$ igual que $π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\frac{x}{2} = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π n)$

Paso 1.3.2.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π n)$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (π n)$

Paso 1.3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2 π n$

Paso 1.3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

${x | x = 2 π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.4

Evalúa $8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$8 (\frac{π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Paso 1.4.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 4 \frac{π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Paso 1.4.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$4 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

Paso 1.4.1.2.4

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$4 π + 8 \cdot 1$

Paso 1.4.1.2.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$4 π + 8$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = \frac{3 π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Sustituye $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$8 (\frac{3 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{3 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 4 \frac{3 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$4 (3 π) + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.2.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 π + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.2.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.4.2.2.4

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.4.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Paso 1.4.2.2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{4})$

Paso 1.4.2.2.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la cotangente es negativa en el segundo cuadrante.

$12 π + 8 (- \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 1.4.2.2.6

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$12 π + 8 (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.4.2.2.7

Multiplica $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$12 π + 8 \cdot - 1$

Paso 1.4.2.2.7.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$12 π - 8$

Paso 1.4.3

Evalúa en $x = \frac{5 π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Sustituye $\frac{5 π}{2}$ por $x$ .

$8 (\frac{5 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{5 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 4 \frac{5 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$4 (5 π) + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.3.2.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$20 π + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.3.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.4.3.2.4

Multiplica $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.4.1

Multiplica $\frac{5 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{2 \cdot 2})$

Paso 1.4.3.2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{4})$

Paso 1.4.3.2.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$20 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

Paso 1.4.3.2.6

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$20 π + 8 \cdot 1$

Paso 1.4.3.2.7

Multiplica $8$ por $1$ .

$20 π + 8$

Paso 1.4.4

Evalúa en $x = \frac{7 π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.4.1

Sustituye $\frac{7 π}{2}$ por $x$ .

$8 (\frac{7 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.4.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{7 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 4 \frac{7 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$4 (7 π) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.4.2.2

Multiplica $7$ por $4$ .

$28 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.4.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.4.4.2.4

Multiplica $\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.4.2.4.1

Multiplica $\frac{7 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{2 \cdot 2})$

Paso 1.4.4.2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4})$

Paso 1.4.4.2.5

$28 π + 8 (- \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 1.4.4.2.6

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$28 π + 8 (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.4.4.2.7

Multiplica $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.4.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$28 π + 8 \cdot - 1$

Paso 1.4.4.2.7.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$28 π - 8$

Paso 1.4.5

Evalúa en $x = \frac{9 π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.5.1

Sustituye $\frac{9 π}{2}$ por $x$ .

$8 (\frac{9 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.5.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.5.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{9 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.5.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 4 \frac{9 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.5.2.1.3

Reescribe la expresión.

$4 (9 π) + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.5.2.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Paso 1.4.5.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.4.5.2.4

Multiplica $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.5.2.4.1

Multiplica $\frac{9 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{2 \cdot 2})$

Paso 1.4.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{4})$

Paso 1.4.5.2.5

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

Paso 1.4.5.2.6

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$36 π + 8 \cdot 1$

Paso 1.4.5.2.7

Multiplica $8$ por $1$ .

$36 π + 8$

Paso 1.4.6

Enumera todos los puntos.

$(\frac{π}{2}, 4 π + 8), (\frac{3 π}{2}, 12 π - 8), (\frac{5 π}{2}, 20 π + 8), (\frac{7 π}{2}, 28 π - 8), (\frac{9 π}{2}, 36 π + 8)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(\frac{π}{2}, 4 π + 8), (\frac{3 π}{2}, 12 π - 8)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Evalúa en $x = \frac{π}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$8 (\frac{π}{4}) + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Paso 3.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$4 (2) \frac{π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Paso 3.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot 2 \frac{π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Paso 3.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$2 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Paso 3.1.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.3

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.3.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{4 \cdot 2})$

Paso 3.1.2.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{8})$

Paso 3.1.2.4

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{8})$ es $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.1

Reescribe $\frac{π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$2 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Paso 3.1.2.4.2

Aplica la identidad recíproca.

$2 π + 8 \frac{1}{\tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})}$

Paso 3.1.2.4.3

Aplica la razón del ángulo mitad de la tangente.

$2 π + 8 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Paso 3.1.2.4.4

Cambia $\pm$ por $+$ porque la cotangente es positiva en el primer cuadrante.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Paso 3.1.2.4.5

Simplifica $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.5.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Paso 3.1.2.4.5.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Paso 3.1.2.4.5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Paso 3.1.2.4.5.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.5.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Paso 3.1.2.4.5.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Paso 3.1.2.4.5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.5.3.2.1

Cancela el factor común.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.2.2

Reescribe la expresión.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.3

Multiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.4

Multiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.5

Expande el denominador con el método PEIU.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.6

Simplifica.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.8

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.5.3.8.1

Cancela el factor común.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.8.2

Reescribe la expresión.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.9

Combina $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.10

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.5.3.10.1

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.10.2

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.10.3

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.10.4

Escribe $- \sqrt{2}$ como una fracción con el denominador $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.10.5

Multiplica $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.10.6

Multiplica $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.12

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.5.3.12.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.12.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.12.5

Multiplica $- - \sqrt{2}$ .

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Paso 3.1.2.4.5.3.12.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.12.5.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.12.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.12.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.12.8

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.4.5.3.12.8.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.12.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.12.8.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.13

Suma $4$ y $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.14

Resta $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.15

Cancela el factor común de $6 - 4 \sqrt{2}$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.5.3.15.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.15.2

Factoriza $2$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.15.3

Factoriza $2$ de $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.15.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.5.3.15.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.15.4.2

Cancela el factor común.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.15.4.3

Reescribe la expresión.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Paso 3.1.2.4.5.3.15.4.4

Divide $3 - 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 3.1.2.5

Combina $8$ y $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

$2 π + \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 3.2

Evalúa en $x = \frac{7 π}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Sustituye $\frac{7 π}{4}$ por $x$ .

$8 (\frac{7 π}{4}) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$4 (2) \frac{7 π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot 2 \frac{7 π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$2 (7 π) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Paso 3.2.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.2.2.4.1

Multiplica $\frac{7 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4 \cdot 2})$

Paso 3.2.2.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{8})$

Paso 3.2.2.5

El valor exacto de $\cot (\frac{7 π}{8})$ es $- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

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Paso 3.2.2.5.1

Reescribe $\frac{7 π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Paso 3.2.2.5.2

Aplica la identidad recíproca.

$14 π + 8 \frac{1}{\tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})}$

Paso 3.2.2.5.3

Aplica la razón del ángulo mitad de la tangente.

$14 π + 8 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

Paso 3.2.2.5.4

Cambia $\pm$ por $-$ porque la cotangente es negativa en el segundo cuadrante.

$14 π + 8 \frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

Paso 3.2.2.5.5

Simplifica $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$ .

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Paso 3.2.2.5.5.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 3.2.2.5.5.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$14 π + 8 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

Paso 3.2.2.5.5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Paso 3.2.2.5.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.5.5.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Paso 3.2.2.5.5.2.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Paso 3.2.2.5.5.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Paso 3.2.2.5.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Paso 3.2.2.5.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.5.5.3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}})$

Paso 3.2.2.5.5.3.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}})$

Paso 3.2.2.5.5.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}})$

Paso 3.2.2.5.5.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.5.5.4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.5.5.4.2.1

Cancela el factor común.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.2.2

Reescribe la expresión.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.3

Multiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.4

Multiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.5

Expande el denominador con el método PEIU.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.6

Simplifica.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.7

Aplica la propiedad distributiva.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.5.5.4.8.1

Cancela el factor común.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.8.2

Reescribe la expresión.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.9

Combina $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.10

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.5.5.4.10.1

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.10.2

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.10.3

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.10.4

Escribe $- \sqrt{2}$ como una fracción con el denominador $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.10.5

Multiplica $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.10.6

Multiplica $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.12

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.5.5.4.12.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.12.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.12.5

Multiplica $- - \sqrt{2}$ .

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Paso 3.2.2.5.5.4.12.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.12.5.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.12.6

Aplica la propiedad distributiva.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.12.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.12.8

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.5.5.4.12.8.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.12.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.12.8.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.13

Suma $4$ y $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.14

Resta $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.15

Cancela el factor común de $6 - 4 \sqrt{2}$ y $2$ .

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Paso 3.2.2.5.5.4.15.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.15.2

Factoriza $2$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.15.3

Factoriza $2$ de $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.15.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.5.5.4.15.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.15.4.2

Cancela el factor común.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.15.4.3

Reescribe la expresión.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}})$

Paso 3.2.2.5.5.4.15.4.4

Divide $3 - 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $8 (- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$ .

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Paso 3.2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$14 π - 8 \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 3.2.2.6.2

Combina $- 8$ y $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

$14 π + \frac{- 8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 3.2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$14 π - \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{π}{4}, 2 π + \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}), (\frac{7 π}{4}, 14 π - \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{3 π}{2}, 12 π - 8)$

Mínimo absoluto: $(\frac{π}{2}, 4 π + 8)$

Paso 5