Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 49}$ como ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 49$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 49$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 49$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 1.7.3

Mueve ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 49$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 1.10

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 1.11

Simplifica los términos.

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Paso 1.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Paso 1.11.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 1.11.3

Combina $\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.5

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.3

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.4.2

Multiplica ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 49$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.10

Combina fracciones.

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Paso 2.10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.10.3

Mueve ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.10.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{x^{2} + 49}$

Paso 2.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 49$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (49))}{x^{2} + 49}$

Paso 2.13

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 49}$

Paso 2.14

Combina fracciones.

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Paso 2.14.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 49}$

Paso 2.14.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 49}$

Paso 2.14.3

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 49}$

Paso 2.14.4

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.18

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.20.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.20.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.22

Para escribir ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.24

Multiplica ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.24.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.24.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.24.3

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.24.4

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 49) - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.25

Simplifica ${(x^{2} + 49)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 49 - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.26

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.27

Suma $0$ y $49$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Paso 2.28

Reescribe $\frac{\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 49}$

Paso 2.29

Multiplica $\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 49}$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 49)}$

Paso 2.30

Multiplica ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 49$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.30.1

Multiplica ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 49$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.30.1.1

Eleva $x^{2} + 49$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 49)}$

Paso 2.30.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 2.30.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 2.30.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 2.30.4

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 49}$ como ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 49$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 49$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 49$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 4.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 4.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 4.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 4.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 4.1.7

Combina fracciones.

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Paso 4.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 4.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 4.1.7.3

Mueve ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Paso 4.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 49$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 4.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [49])$

Paso 4.1.10

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 4.1.11

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Paso 4.1.11.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 4.1.11.3

Combina $\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.11.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.11.5

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{49}{{({(0)}^{2} + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{49}{{(0 + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.2

Suma $0$ y $49$ .

$\frac{49}{49^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.3

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{49}{{(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{49}{7^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 9.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{49}{7^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 9.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{49}{7^{3}}$

Paso 9.1.6

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$\frac{49}{343}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $49$ y $343$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $49$ de $49$ .

$\frac{49 (1)}{343}$

Paso 9.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $49$ de $343$ .

$\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 7}$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 7}$

Paso 9.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7}$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \sqrt{{(0)}^{2} + 49}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \sqrt{0 + 49}$

Paso 11.2.2

Suma $0$ y $49$ .

$f (0) = \sqrt{49}$

Paso 11.2.3

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{7^{2}}$

Paso 11.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (0) = 7$

Paso 11.2.5

La respuesta final es $7$ .

$y = 7$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$ .

$(0, 7)$ es un mínimo local

Paso 13