Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) \cos (x) + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2.5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2.8

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.2.11

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Suma $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ y $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 1.4.2

Reordena $- \sin^{2} (x)$ y $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Paso 1.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.4.4

Expande $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.4.5

Combina los términos opuestos en $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Paso 1.4.5.1

Reordena los factores en los términos $\cos (x) (- \sin (x))$ y $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.4.5.2

Suma $- \cos (x) \sin (x)$ y $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.4.5.3

Suma $\cos (x) \cos (x)$ y $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.4.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.6.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 1.4.6.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.4.6.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.4.6.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.4.6.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.4.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Paso 1.4.6.3

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 1.4.6.3.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Paso 1.4.6.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Paso 1.4.6.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Paso 1.4.6.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Paso 1.4.7

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\cos (2 x) = 0$

Paso 4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (0)$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Paso 6

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 6.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 6.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 7

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 8.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 8.1.5

Resta $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Paso 8.2

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 8.2.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 9

La solución a la ecuación $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Paso 11.1.2

Cancela el factor común.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Paso 11.1.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 11.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 11.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 12

$x = \frac{π}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{4}$ es un máximo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 13.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 7$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 7$

Paso 13.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 7$

Paso 13.2.1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 13.2.1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 13.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 13.2.1.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 13.2.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 13.2.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 13.2.1.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

Paso 13.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 13.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

Paso 13.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

Paso 13.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Paso 13.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Paso 13.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

Paso 13.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

Paso 13.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 13.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (1)}{4} + 7$

Paso 13.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 13.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 13.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7$

Paso 13.2.2

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 13.2.3

Combina $7$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Paso 13.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 7 \cdot 2}{2}$

Paso 13.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.5.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 14}{2}$

Paso 13.2.5.2

Suma $1$ y $14$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{15}{2}$

Paso 13.2.6

La respuesta final es $\frac{15}{2}$ .

$y = \frac{15}{2}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 15.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Paso 15.1.2

Cancela el factor común.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Paso 15.1.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 15.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 15.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Paso 15.4

Multiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 15.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Paso 15.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2$

Paso 16

$x = \frac{3 π}{4}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{4}$ es un mínimo local

Paso 17

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Paso 17.2

Simplifica el resultado.

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Paso 17.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Paso 17.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Paso 17.2.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + 7$

Paso 17.2.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 7$

Paso 17.2.1.5

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 17.2.1.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 17.2.1.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 17.2.1.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 17.2.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 17.2.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 17.2.1.5.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

Paso 17.2.1.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 17.2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

Paso 17.2.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

Paso 17.2.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Paso 17.2.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Paso 17.2.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

Paso 17.2.1.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

Paso 17.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 17.2.1.7.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (1)}{4} + 7$

Paso 17.2.1.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.2.1.7.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 17.2.1.7.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Paso 17.2.1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7$

Paso 17.2.2

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 17.2.3

Combina $7$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Paso 17.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 7 \cdot 2}{2}$

Paso 17.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 17.2.5.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 14}{2}$

Paso 17.2.5.2

Suma $- 1$ y $14$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{13}{2}$

Paso 17.2.6

La respuesta final es $\frac{13}{2}$ .

$y = \frac{13}{2}$

Paso 18

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{15}{2})$ es un máximo local

$(\frac{3 π}{4}, \frac{13}{2})$ es un mínimo local

Paso 19