Cálculo Ejemplos

$y = x - \sin (x)$

Paso 1

Escribe $y = x - \sin (x)$ como una función.

$f (x) = x - \sin (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$1 - \cos (x)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Paso 3.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

Paso 3.2.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$1 - \cos (x) = 0$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \cos (x) = - 1$

Paso 6

Divide cada término en $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.2.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Paso 7

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 8

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 9

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 10

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 11

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\sin (0)$

Paso 13

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0$

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $1 - \cos (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 1 - \cos (- 2)$

Paso 14.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.2.1.1

Evalúa $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1 + 0.41614683$

Paso 14.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1 + 0.41614683$

Paso 14.2.2.2

Suma $1$ y $0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1.41614683$

Paso 14.2.2.3

La respuesta final es $1.41614683$ .

$1.41614683$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(0, 2 π)$ en la primera derivada $1 - \cos (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 1 - \cos (3)$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.3.2.1.1

Evalúa $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1 + 0.98999249$

Paso 14.3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1 + 0.98999249$

Paso 14.3.2.2

Suma $1$ y $0.98999249$ .

$f' (3) = 1.98999249$

Paso 14.3.2.3

La respuesta final es $1.98999249$ .

$1.98999249$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $9$ , del intervalo $(2 π, \infty)$ en la primera derivada $1 - \cos (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f' (9) = 1 - \cos (9)$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.4.2.1.1

Evalúa $\cos (9)$ .

$f' (9) = 1 + 0.91113026$

Paso 14.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.91113026$ .

$f' (9) = 1 + 0.91113026$

Paso 14.4.2.2

Suma $1$ y $0.91113026$ .

$f' (9) = 1.91113026$

Paso 14.4.2.3

La respuesta final es $1.91113026$ .

$1.91113026$

Paso 14.5

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 14.6

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = x - \sin (x)$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 15