Cálculo Ejemplos

$y = 4 x - \ln (x)$

Paso 1

Escribe $y = 4 x - \ln (x)$ como una función.

$f (x) = 4 x - \ln (x)$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.1.1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{x} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.1.2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.1.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.1.2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.1.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.1.2.2.6

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.1.2.2.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.1.2.2.8

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.1.2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Paso 2.1.2.4

Simplifica.

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Paso 2.1.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 2.1.2.4.2

Suma $\frac{1}{x^{2}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = 4 x - \ln (x)$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x > 0$

Paso 3.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(0, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es positiva.

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6