Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 8 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \div \frac{3 x + 30 y}{x - y}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} + 8 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 1 \cdot - 20 = - 20$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 2.1.1

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} - 20 y^{2} + 8 x y}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Paso 2.1.2

Reordena $- 20 y^{2}$ y $8 x y$ .

$\frac{x^{2} + 8 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Paso 2.1.3

Factoriza $8$ de $8 x y$ .

$\frac{x^{2} + 8 (x y) - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Paso 2.1.4

Reescribe $8$ como $- 2$ más $10$

$\frac{x^{2} + (- 2 + 10) (x y) - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Paso 2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 2 (x y) + 10 (x y) - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Paso 2.1.6

Mueve los paréntesis.

$\frac{x^{2} - 2 x y + 10 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x^{2} - 2 x y) + 10 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (x - 2 y) + 10 y (x - 2 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 2 y$ .

$\frac{(x - 2 y) (x + 10 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Paso 3

Factoriza $3$ de $3 x + 30 y$ .

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Paso 3.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{(x - 2 y) (x + 10 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 (x) + 30 y}$

Paso 3.2

Factoriza $3$ de $30 y$ .

$\frac{(x - 2 y) (x + 10 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 (x) + 3 (10 y)}$

Paso 3.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (10 y)$ .

$\frac{(x - 2 y) (x + 10 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 (x + 10 y)}$

Paso 4

Cancela el factor común de $x + 10 y$ .

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Paso 4.1

Factoriza $x + 10 y$ de $(x - 2 y) (x + 10 y)$ .

$\frac{(x + 10 y) (x - 2 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 (x + 10 y)}$

Paso 4.2

Factoriza $x + 10 y$ de $3 (x + 10 y)$ .

$\frac{(x + 10 y) (x - 2 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{(x + 10 y) \cdot 3}$

Paso 4.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 10 y) (x - 2 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{(x + 10 y) \cdot 3}$

Paso 4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 2 y}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3}$

Paso 5

Multiplica $\frac{x - 2 y}{x + 3 y}$ por $\frac{x - y}{3}$ .

$\frac{(x - 2 y) (x - y)}{(x + 3 y) \cdot 3}$

Paso 6

Mueve $3$ a la izquierda de $x + 3 y$ .

$\frac{(x - 2 y) (x - y)}{3 (x + 3 y)}$

Paso 7

Expande $(x - 2 y) (x - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - y) - 2 y (x - y)}{3 (x + 3 y)}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x (- y) - 2 y (x - y)}{3 (x + 3 y)}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x (- y) - 2 y x - 2 y (- y)}{3 (x + 3 y)}$

Paso 8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x (- y) - 2 y x - 2 y (- y)}{3 (x + 3 y)}$

Paso 8.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x - 2 y (- y)}{3 (x + 3 y)}$

Paso 8.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x - 2 \cdot - 1 y \cdot y}{3 (x + 3 y)}$

Paso 8.1.4

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 8.1.4.1

Mueve $y$ .

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x - 2 \cdot - 1 (y \cdot y)}{3 (x + 3 y)}$

Paso 8.1.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x - 2 \cdot - 1 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Paso 8.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x + 2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Paso 8.2

Resta $2 y x$ de $- x y$ .

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Paso 8.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{x^{2} - x y - 2 x y + 2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Paso 8.2.2

Resta $2 x y$ de $- x y$ .

$\frac{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Paso 9

Divide la fracción $\frac{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{2} - 3 x y}{3 (x + 3 y)} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Paso 10

Divide la fracción $\frac{x^{2} - 3 x y}{3 (x + 3 y)}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} + \frac{- 3 x y}{3 (x + 3 y)} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Paso 11

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 11.1

Factoriza $3$ de $- 3 x y$ .

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} + \frac{3 (- x y)}{3 (x + 3 y)} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Paso 11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} + \frac{3 (- x y)}{3 (x + 3 y)} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Paso 11.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} + \frac{- x y}{x + 3 y} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Paso 12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} - \frac{x y}{x + 3 y} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$