Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 3}^{10} \sqrt{3} \cdot \frac{i}{2}$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $i$ sea igual a $1$ .

$\sum_{i = 3}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2} - \sum_{i = 1}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 2

Evalúa $\sum_{i = 1}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $\frac{\sqrt{3}}{2}$ fuera de la suma.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sum_{k = 1}^{10} i$

Paso 2.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 2.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1.1

Suma $10$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $10$ por $11$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{110}{2}$

Paso 2.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $2$ de $110$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (55)}{2}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 55}{2}$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3} \frac{55}{2}$

Paso 2.4.3

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{55}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 55}{2}$

Paso 2.4.4

Mueve $55$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{55 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{i = 1}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

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Paso 3.1

Expande la serie para cada valor de $i$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.3

Suma $\sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$\frac{55 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{55 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2

Resta $3 \sqrt{3}$ de $55 \sqrt{3}$ .

$\frac{52 \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $52$ y $2$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2$ de $52 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{26 \sqrt{3}}{1}$

Paso 5.3.2.4

Divide $26 \sqrt{3}$ por $1$ .

$26 \sqrt{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$26 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$45.03332099 \dots$