Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{4} 2 \sin (\frac{π}{k})$

Paso 1

Expande la serie para cada valor de $k$ .

$2 \sin (\frac{π}{1}) + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Divide $π$ por $1$ .

$2 \sin (π) + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$2 \sin (0) + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$2 \cdot 0 + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 + 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2.1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 + 2 \cdot 1 + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2.1.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2 + 2 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2.1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$0 + 2 + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.8.1

Cancela el factor común.

$0 + 2 + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2.1.8.2

Reescribe la expresión.

$0 + 2 + \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2.1.9

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$0 + 2 + \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.1.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.10.1

Cancela el factor común.

$0 + 2 + \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.1.10.2

Reescribe la expresión.

$0 + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{2}$

Paso 2.2

Suma $0$ y $2$ .

$2 + \sqrt{3} + \sqrt{2}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 + \sqrt{3} + \sqrt{2}$

Forma decimal:

$5.14626436 \dots$