Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{60} (3 i^{2} - i) (2 i - 5)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Expande $(3 i^{2} - i) (2 i - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 i^{2} (2 i - 5) - i (2 i - 5)$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 i^{2} (2 i) + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i - 5)$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 i^{2} (2 i) + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Paso 1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \cdot 2 i^{2} i + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $i^{2}$ por $i$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.2.1

Mueve $i$ .

$3 \cdot 2 (i \cdot i^{2}) + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Paso 1.2.1.2.2

Multiplica $i$ por $i^{2}$ .

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Paso 1.2.1.2.2.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$3 \cdot 2 (i^{1} i^{2}) + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Paso 1.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \cdot 2 i^{1 + 2} + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Paso 1.2.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$3 \cdot 2 i^{3} + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 i^{3} + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Paso 1.2.1.4

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - i (2 i) - i \cdot - 5$

Paso 1.2.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 1 \cdot 2 i \cdot i - i \cdot - 5$

Paso 1.2.1.6

Multiplica $i$ por $i$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.6.1

Mueve $i$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 1 \cdot 2 (i \cdot i) - i \cdot - 5$

Paso 1.2.1.6.2

Multiplica $i$ por $i$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 1 \cdot 2 i^{2} - i \cdot - 5$

Paso 1.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 2 i^{2} - i \cdot - 5$

Paso 1.2.1.8

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 2 i^{2} + 5 i$

Paso 1.2.2

Resta $2 i^{2}$ de $- 15 i^{2}$ .

$6 i^{3} - 17 i^{2} + 5 i$

Paso 1.3

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{60} 6 i^{3} - 17 i^{2} + 5 i$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{i = 1}^{60} 6 i^{3} - 17 i^{2} + 5 i = 6 \sum_{i = 1}^{60} i^{3} - 17 \sum_{i = 1}^{60} i^{2} + 5 \sum_{i = 1}^{60} i$

Paso 3

Evalúa $6 \sum_{i = 1}^{60} i^{3}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $3$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(6) (\frac{60^{2} {(60 + 1)}^{2}}{4})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Suma $60$ y $1$ .

$6 \frac{60^{2} \cdot 61^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.2

Eleva $60$ a la potencia de $2$ .

$6 \frac{3600 \cdot 61^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.3

Eleva $61$ a la potencia de $2$ .

$6 \frac{3600 \cdot 3721}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $3600$ por $3721$ .

$6 (\frac{13395600}{4})$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{13395600}{4}$

Paso 3.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{13395600}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 3 \frac{13395600}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{13395600}{2})$

Paso 3.3.2.3

Combina $3$ y $\frac{13395600}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 13395600}{2}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $3$ por $13395600$ .

$\frac{40186800}{2}$

Paso 3.3.2.4.2

Divide $40186800$ por $2$ .

$20093400$

Paso 4

Evalúa $17 \sum_{i = 1}^{60} i^{2}$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 17) (\frac{60 (60 + 1) (2 \cdot 60 + 1)}{6})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Suma $60$ y $1$ .

$- 17 \frac{60 \cdot 61 (2 \cdot 60 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $60$ por $61$ .

$- 17 \frac{3660 (2 \cdot 60 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $60$ .

$- 17 \frac{3660 (120 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.3

Suma $120$ y $1$ .

$- 17 \frac{3660 \cdot 121}{6}$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $3660$ por $121$ .

$- 17 (\frac{442860}{6})$

Paso 4.3.2.2

Divide $442860$ por $6$ .

$- 17 \cdot 73810$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 17$ por $73810$ .

$- 1254770$

Paso 5

Evalúa $5 \sum_{i = 1}^{60} i$ .

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Paso 5.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 5.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(5) (\frac{60 (60 + 1)}{2})$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Suma $60$ y $1$ .

$5 \frac{60 \cdot 61}{2}$

Paso 5.3.2

Multiplica $60$ por $61$ .

$5 (\frac{3660}{2})$

Paso 5.3.3

Divide $3660$ por $2$ .

$5 \cdot 1830$

Paso 5.3.4

Multiplica $5$ por $1830$ .

$9150$

Paso 6

Suma los resultados de las sumas.

$20093400 - 1254770 + 9150$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Resta $1254770$ de $20093400$ .

$18838630 + 9150$

Paso 7.2

Suma $18838630$ y $9150$ .

$18847780$