Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{n + 1}}{{(\frac{2}{3})}^{n}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{2}{3})}^{n + 1}$ y ${(\frac{2}{3})}^{n}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza ${(\frac{2}{3})}^{n}$ de ${(\frac{2}{3})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{n} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{n}}$

Paso 2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{n} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{n} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{n} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{n} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{\frac{2}{3}}{1}$

Paso 2.2.2.4

Divide $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$r = \frac{2}{3}$

Paso 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Paso 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $n$ en ${(\frac{2}{3})}^{n}$ .

$a = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Paso 4.2

Simplifica.

$a = \frac{2}{3}$

Paso 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Paso 6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

Paso 6.2.3

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Paso 6.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2}{3} (1 \cdot 3)$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $3$ de $1 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$2$