Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x + \frac{2}{x}$ , $x = 2$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + \frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$5 + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 + 2 (- x^{- 2})$

Paso 3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 - 2 x^{- 2}$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina los términos.

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Paso 5.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$5 + \frac{- 2}{x^{2}}$

Paso 5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 - \frac{2}{x^{2}}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$- \frac{2}{x^{2}} + 5$

Paso 6

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$- \frac{2}{{(2)}^{2}} + 5$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $2$ y ${(2)}^{2}$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{{(2)}^{2}} + 5$

Paso 7.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $2$ de ${(2)}^{2}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 \cdot 2} + 5$

Paso 7.1.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 5$

Paso 7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} + 5$

Paso 7.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.3

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Paso 7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 5 \cdot 2}{2}$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{- 1 + 10}{2}$

Paso 7.5.2

Suma $- 1$ y $10$ .

$\frac{9}{2}$