Cálculo Ejemplos

$\frac{6 x}{2^{4 x^{2}}}$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int \frac{x}{2^{4 x^{2}}} d x$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Niega el exponente de $2^{4 x^{2}}$ y quítalo del denominador.

$6 \int x {(2^{4 x^{2}})}^{- 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{4 x^{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int x \cdot 2^{4 x^{2} \cdot - 1} d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$6 \int x \cdot 2^{- 4 x^{2}} d x$

Paso 3

Sea $u = - 4 x^{2}$ . Entonces $d u = - 8 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = - 4 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $- 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 3.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 (2 x)$

Paso 3.1.4

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- 8 x$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$6 \int 2^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 \int 2^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Paso 4.2

Combina $2^{u}$ y $\frac{1}{8}$ .

$6 \int - \frac{2^{u}}{8} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$6 (- \int \frac{2^{u}}{8} d u)$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 \int \frac{2^{u}}{8} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$- 6 (\frac{1}{8} \int 2^{u} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $- 6$ .

$\frac{- 6}{8} \int 2^{u} d u$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $8$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 (- 3)}{8} \int 2^{u} d u$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4} \int 2^{u} d u$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4} \int 2^{u} d u$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{4} \int 2^{u} d u$

Paso 8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{4} \int 2^{u} d u$

Paso 9

La integral de $2^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $- \frac{3}{4} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ como $- \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Multiplica $\frac{1}{\ln (2)}$ por $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{\ln (2) \cdot 4} \cdot 2^{u} + C$

Paso 10.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\ln (2)$ .

$- \frac{3}{4 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 4 x^{2}$ .

$- \frac{3}{4 \ln (2)} \cdot 2^{- 4 x^{2}} + C$