Cálculo Ejemplos

$2 t e^{2 t}$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int t e^{2 t} d t$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = e^{2 t}$ .

$2 (t (\frac{1}{2} e^{2 t}) - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 t}$ .

$2 (t \frac{e^{2 t}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Paso 3.2

Combina $t$ y $\frac{e^{2 t}}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 t}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \int \frac{e^{2 t}}{2} d t)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 t} d t))$

Paso 5

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Paso 10

Reescribe $2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t$ .

$2 (\frac{t}{2} e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{t}{2}$ y $e^{2 t}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Paso 12.1.3

Combina $e^{2 t}$ y $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{t e^{2 t}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.3.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{t e^{2 t}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Paso 12.3.2

Reescribe la expresión.

$t e^{2 t} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Paso 12.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{2 t}}{4}$ al numerador.

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{4} + C$

Paso 12.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{2 (2)} + C$

Paso 12.4.3

Cancela el factor común.

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{2 \cdot 2} + C$

Paso 12.4.4

Reescribe la expresión.

$t e^{2 t} + \frac{- e^{2 t}}{2} + C$

Paso 12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t e^{2 t} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Paso 12.6

Para escribir $t e^{2 t}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$t e^{2 t} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Paso 12.7

Combina $t e^{2 t}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t e^{2 t} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Paso 12.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{t e^{2 t} \cdot 2 - e^{2 t}}{2} + C$

Paso 12.9

Simplifica el numerador.

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Paso 12.9.1

Mueve $2$ a la izquierda de $t e^{2 t}$ .

$\frac{2 \cdot (t e^{2 t}) - e^{2 t}}{2} + C$

Paso 12.9.2

Factoriza $e^{2 t}$ de $2 t e^{2 t} - e^{2 t}$ .

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Paso 12.9.2.1

Factoriza $e^{2 t}$ de $2 t e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} (2 t) - e^{2 t}}{2} + C$

Paso 12.9.2.2

Factoriza $e^{2 t}$ de $- e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} (2 t) + e^{2 t} \cdot - 1}{2} + C$

Paso 12.9.2.3

Factoriza $e^{2 t}$ de $e^{2 t} (2 t) + e^{2 t} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{2 t} (2 t - 1)}{2} + C$

$\frac{1}{2} e^{2 t} (2 t - 1) + C$