Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{2 x^{2} + 5}} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{2} + 5}} d x$

Paso 2

Sea $x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2}$ es positiva.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2^{1} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.1.5

Evalúa el exponente.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.1.1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.3.6.5

Evalúa el exponente.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.4.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{10}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.5

Combina $\frac{\sqrt{10}}{2}$ y $\tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{10} \tan (t)}{2})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.1.6.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{10} \tan (t)}{2}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{{(\sqrt{10} \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.6.2

Aplica la regla del producto a $\sqrt{10} \tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{{\sqrt{10}}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.7

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 3.1.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10^{1} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.7.5

Evalúa el exponente.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10 \tan^{2} (t)}{4} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.1.9.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10 \tan^{2} (t)}{2 (2)} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.9.2

Cancela el factor común.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10 \tan^{2} (t)}{2 \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.9.3

Reescribe la expresión.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{10 \tan^{2} (t)}{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.10

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 3.1.1.10.1

Factoriza $2$ de $10 \tan^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{2 (5 \tan^{2} (t))}{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.1.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{2 (5 \tan^{2} (t))}{2 (1)} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.10.2.2

Cancela el factor común.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{2 (5 \tan^{2} (t))}{2 \cdot 1} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.10.2.3

Reescribe la expresión.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{5 \tan^{2} (t)}{1} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.10.2.4

Divide $5 \tan^{2} (t)$ por $1$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.11

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 3.1.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.11.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.1.11.4.1

Cancela el factor común.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.11.4.2

Reescribe la expresión.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{1}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.1.11.5

Evalúa el exponente.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.2

Factoriza $5$ de $5 \tan^{2} (t) + 5$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $5$ de $5 \tan^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $5$ de $5$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.2.3

Factoriza $5$ de $5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.4

Reordena $5$ y $\sec^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ y $\tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{\sqrt{2}})}^{2}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{\sqrt{2}}$ .

$3 \int \frac{\frac{{(\sqrt{5} \tan (t))}^{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.2

Aplica la regla del producto a $\sqrt{5} \tan (t)$ .

$3 \int \frac{\frac{{\sqrt{5}}^{2} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.3.1

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 \int \frac{\frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$3 \int \frac{\frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$3 \int \frac{\frac{5^{1} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.1.5

Evalúa el exponente.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.2.2.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{1}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.2.5

Evalúa el exponente.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.3

Reescribe $\frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2}}{\sec (t) \sqrt{5}}$ como un producto.

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t)}{2} \cdot \frac{1}{\sec (t) \sqrt{5}} \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.4

Multiplica $\frac{5 \tan^{2} (t)}{2}$ por $\frac{1}{\sec (t) \sqrt{5}}$ .

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t)}{2 (\sec (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 3.2.2.3.5

Multiplica $\frac{5 \tan^{2} (t)}{2 \sec (t) \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2}$ .

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t) (\sqrt{10} \sec^{2} (t))}{2 \sec (t) \sqrt{5} \cdot 2} d t$

Paso 3.2.2.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t) (\sqrt{10} \sec^{2} (t))}{4 \sec (t) \sqrt{5}} d t$

Paso 3.2.2.3.7

Cancela el factor común de $\sec^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

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Paso 3.2.2.3.7.1

Factoriza $\sec (t)$ de $5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{\sec (t) (5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec (t))}{4 \sec (t) \sqrt{5}} d t$

Paso 3.2.2.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.3.7.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $4 \sec (t) \sqrt{5}$ .

$3 \int \frac{\sec (t) (5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec (t))}{\sec (t) (4 \sqrt{5})} d t$

Paso 3.2.2.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$3 \int \frac{\sec (t) (5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec (t))}{\sec (t) (4 \sqrt{5})} d t$

Paso 3.2.2.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec (t)}{4 \sqrt{5}} d t$

Paso 4

Dado que $\frac{5 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{5 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{5 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{5 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}}$ y $3$ .

$\frac{5 \sqrt{10} \cdot 3}{4 \sqrt{5}} \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Paso 6

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 7

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 11

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 12

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Paso 13

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (t)$ y $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Paso 14

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Paso 15

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 17

Simplifica la expresión.

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Paso 17.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 17.2

Reordena $\tan^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Paso 18

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Paso 19

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 19.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 19.3

Reordena $\sec (t)$ y $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 20

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Paso 21

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 22

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 23

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 24

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Paso 25

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Paso 26

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Paso 27

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 28

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 29

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 30

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 30.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 30.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 31

Al resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Paso 32

Multiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Paso 33

Simplifica.

$\frac{15 \sqrt{\frac{10}{5}}}{4} (- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}) + C$

Paso 34

Simplifica.

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Paso 34.1

Divide $10$ por $5$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} (- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}) + C$

Paso 34.2

Para escribir $- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} (- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}) + C$

Paso 34.3

Combina $- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} (\frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2}{2} + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}) + C$

Paso 34.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Paso 34.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Paso 34.6

Suma $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ y $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Paso 34.7

Multiplica $\frac{15 \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{4 \cdot 2} + C$

Paso 34.8

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Paso 35

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})$ .

$\frac{15 \sqrt{2} (\sec (\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})) \tan (\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})) - \ln (| \sec (\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})) |))}{8} + C$

Paso 36

Reordena los términos.

$\frac{15 \sqrt{2}}{8} (\sec (\arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x)) \tan (\arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x)) - \ln (| \sec (\arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x)) + \tan (\arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x)) |)) + C$