Cálculo Ejemplos

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Reescribe $\cot (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\tan (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} ({(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - \sin^{2} (θ))$

Paso 2.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin^{2} (θ))$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

Paso 2.4

Combinar.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

Paso 2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Paso 2.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común de $\cos (θ)$ y $\cos^{2} (θ)$ .

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Paso 2.6.1.1

Factoriza $\cos (θ)$ de $\cos (θ) \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Paso 2.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.1.2.1

Factoriza $\cos (θ)$ de $\sin (θ) \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Paso 2.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Paso 2.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común de $\sin^{2} (θ)$ y $\sin (θ)$ .

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Paso 2.6.2.1

Factoriza $\sin (θ)$ de $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Paso 2.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.2.2.1

Factoriza $\sin (θ)$ de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Paso 2.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Paso 2.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Paso 2.6.3

Cancela el factor común de $\sin (θ)$ .

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Paso 2.6.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ al numerador.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Paso 2.6.3.2

Factoriza $\sin (θ)$ de $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

Paso 2.6.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

Paso 2.6.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \sin (θ)$

Paso 3

Escribe $- \cos (θ) \sin (θ)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$

Paso 4

Suma fracciones.

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Paso 4.1

Para escribir $\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ por $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 5

Multiplica $- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) - \cos^{2} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 6

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\frac{\sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Factoriza $\sin (θ)$ de $\sin (θ) - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ .

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Paso 7.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 7.1.1.2

Factoriza $\sin (θ)$ de $- (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

Paso 7.1.1.3

Factoriza $\sin (θ)$ de $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

Paso 7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 \cdot 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Paso 7.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Paso 7.1.4

Multiplica $- - {\sin (θ)}^{2}$ .

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Paso 7.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + 1 {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Paso 7.1.4.2

Multiplica ${\sin (θ)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Paso 7.1.5

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{\sin (θ) (0 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Paso 7.1.6

Suma $0$ y ${\sin (θ)}^{2}$ .

$\frac{\sin (θ) {\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}$

Paso 7.2

Multiplica $\sin (θ)$ por ${\sin (θ)}^{2}$ sumando los exponentes.

$\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 8

Reescribe $\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$ como $\tan (θ) \sin^{2} (θ)$ .

$\tan (θ) \sin^{2} (θ)$

Paso 9

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$ es una identidad