Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} ((x + 2) (x + 2))]$

Paso 1.1.1.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x (x + 2) + 2 (x + 2))]$

Paso 1.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))]$

Paso 1.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Paso 1.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Paso 1.1.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Paso 1.1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)]$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 4 x + 4)]$

Paso 1.1.1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ y $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.1.5

Diferencia.

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Paso 1.1.1.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.1.5.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.1.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.1.5.5

Multiplica $4$ por $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.1.5.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.1.5.7

Suma $2 x + 4$ y $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.1.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 1.1.1.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 1.1.1.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 1.1.1.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 1.1.1.7

Diferencia.

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Paso 1.1.1.7.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 \cdot (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.1.1.7.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.1.1.7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.1.1.7.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + 0)$

Paso 1.1.1.7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.7.5.1

Suma $1$ y $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \cdot 1$

Paso 1.1.1.7.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.1.1.8

Simplifica.

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Paso 1.1.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.1.1.8.2

Multiplica $4$ por $3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.1.1.8.3

Multiplica $3$ por $4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.1.1.8.4

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 1.1.1.8.4.1

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.1.1.8.4.2

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de $(3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.4.3

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.5

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.6

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.8.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.8.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.8.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.7.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.7.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.7.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.7.2

Suma $x$ y $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.8.8.1

Expande $(x + 1) (2 x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.8.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.8.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.8.8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.8.8.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.8.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.8.8.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.8.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.8.2.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.8.2.1.4

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.8.2.1.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.8.2.2

Suma $4 x$ y $2 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.9

Suma $2 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 6 x + 4 + 12 x + 12)$

Paso 1.1.1.8.10

Suma $6 x$ y $12 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 4 + 12)$

Paso 1.1.1.8.11

Suma $4$ y $12$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$

Paso 1.1.1.8.12

Expande $(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.8.13.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.8.13.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{4} + 18 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.8.13.4.1

Mueve $x$ .

$5 x^{4} + 18 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.8.13.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{4} + 18 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{4} + 18 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.5

Mueve $16$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.7

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.8.13.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.1.1.8.13.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x^{1}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{2 + 1} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.7.3

Suma $2$ y $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.8

Multiplica $2$ por $5$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.10

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.8.13.10.1

Mueve $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.10.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.11

Multiplica $2$ por $18$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.12

Multiplica $16$ por $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.13

Multiplica $5 x^{2}$ por $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.14

Multiplica $18 x$ por $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.1.8.13.15

Multiplica $16$ por $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Paso 1.1.1.8.14

Suma $18 x^{3}$ y $10 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Paso 1.1.1.8.15

Suma $16 x^{2}$ y $36 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 52 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Paso 1.1.1.8.16

Suma $52 x^{2}$ y $5 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 32 x + 18 x + 16$

Paso 1.1.1.8.17

Suma $32 x$ y $18 x$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28 x^{3}$ con respecto a $x$ es $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$20 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica $3$ por $28$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [57 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Como $57$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $57 x^{2}$ con respecto a $x$ es $57 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 (2 x) + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.4.3

Multiplica $2$ por $57$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [50 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.1

Como $50$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $50 x$ con respecto a $x$ es $50 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.5.3

Multiplica $50$ por $1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.2.6.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + 0$

Paso 1.1.2.6.2

Suma $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ y $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $2$ de $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $20 x^{3}$ .

$2 (10 x^{3}) + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $2$ de $84 x^{2}$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 114 x + 50 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $2$ de $114 x$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 50 = 0$

Paso 1.2.2.1.4

Factoriza $2$ de $50$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Paso 1.2.2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2})$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Paso 1.2.2.1.6

Factoriza $2$ de $2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25) = 0$

Paso 1.2.2.1.7

Factoriza $2$ de $2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25) = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza.

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Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.2.2.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Paso 1.2.2.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 25, \pm 2.5, \pm 12.5, \pm 5$

Paso 1.2.2.2.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.2.2.2.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$10 {(- 1)}^{3} + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Paso 1.2.2.2.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$10 \cdot - 1 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Paso 1.2.2.2.1.3.3

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$- 10 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Paso 1.2.2.2.1.3.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 10 + 42 \cdot 1 + 57 \cdot - 1 + 25$

Paso 1.2.2.2.1.3.5

Multiplica $42$ por $1$ .

$- 10 + 42 + 57 \cdot - 1 + 25$

Paso 1.2.2.2.1.3.6

Suma $- 10$ y $42$ .

$32 + 57 \cdot - 1 + 25$

Paso 1.2.2.2.1.3.7

Multiplica $57$ por $- 1$ .

$32 - 57 + 25$

Paso 1.2.2.2.1.3.8

Resta $57$ de $32$ .

$- 25 + 25$

Paso 1.2.2.2.1.3.9

Suma $- 25$ y $25$ .

$0$

Paso 1.2.2.2.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25}{x + 1}$

Paso 1.2.2.2.1.5

Divide $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ por $x + 1$ .

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Paso 1.2.2.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$42 x^{2}$

$57 x$

$25$

Paso 1.2.2.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $10 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$10 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$

Paso 1.2.2.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			+	$10 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $10 x^{3} + 10 x^{2}$ .

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Paso 1.2.2.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $32 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Paso 1.2.2.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$32 x$

Paso 1.2.2.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $32 x^{2} + 32 x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$

Paso 1.2.2.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$

Paso 1.2.2.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Paso 1.2.2.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $25 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Paso 1.2.2.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							+	$25 x$	+	$25$

Paso 1.2.2.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $25 x + 25$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$

Paso 1.2.2.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$
										$0$

Paso 1.2.2.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$10 x^{2} + 32 x + 25$

Paso 1.2.2.2.1.6

Escribe $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ como un conjunto de factores.

$2 ((x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25)) = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.5

Establece $10 x^{2} + 32 x + 25$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $10 x^{2} + 32 x + 25$ igual a $0$ .

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 10$ , $b = 32$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (10 \cdot 25)}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.3.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

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Paso 1.2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 40$ por $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.3.1.3

Resta $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.3.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 1.2.5.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Paso 1.2.5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Paso 1.2.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.4.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 40$ por $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.4.1.3

Resta $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.4.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Paso 1.2.5.2.4.3

Simplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Paso 1.2.5.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 16 + \sqrt{6}}{10}$

Paso 1.2.5.2.4.5

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 + \sqrt{6}}{10}$

Paso 1.2.5.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - 1 (- \sqrt{6})}{10}$

Paso 1.2.5.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (16) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 - \sqrt{6})}{10}$

Paso 1.2.5.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}$

Paso 1.2.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.5.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 40$ por $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.5.1.3

Resta $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.5.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 1.2.5.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Paso 1.2.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Paso 1.2.5.2.5.3

Simplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Paso 1.2.5.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 16 - \sqrt{6}}{10}$

Paso 1.2.5.2.5.5

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - \sqrt{6}}{10}$

Paso 1.2.5.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (\sqrt{6})}{10}$

Paso 1.2.5.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (16) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 + \sqrt{6})}{10}$

Paso 1.2.5.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Paso 1.2.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}) \cup (- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}) \cup (- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = 20 {(- 4)}^{3} + 84 {(- 4)}^{2} + 114 (- 4) + 50$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = 20 \cdot - 64 + 84 {(- 4)}^{2} + 114 (- 4) + 50$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 84 {(- 4)}^{2} + 114 (- 4) + 50$

Paso 4.2.1.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 84 \cdot 16 + 114 (- 4) + 50$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $84$ por $16$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 1344 + 114 (- 4) + 50$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $114$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 1344 - 456 + 50$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.1

Suma $- 1280$ y $1344$ .

$f'' (- 4) = 64 - 456 + 50$

Paso 4.2.2.2

Resta $456$ de $64$ .

$f'' (- 4) = - 392 + 50$

Paso 4.2.2.3

Suma $- 392$ y $50$ .

$f'' (- 4) = - 342$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 342$ .

$- 342$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ porque $f'' (- 4)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.6$ en la expresión.

$f'' (- 1.6) = 20 {(- 1.6)}^{3} + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.6$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.6) = 20 \cdot - 4.096 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 4.096$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 1.6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 \cdot 2.56 + 114 (- 1.6) + 50$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $84$ por $2.56$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 + 114 (- 1.6) + 50$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $114$ por $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 - 182.4 + 50$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Suma $- 81.92$ y $215.04$ .

$f'' (- 1.6) = 133.12 - 182.4 + 50$

Paso 5.2.2.2

Resta $182.4$ de $133.12$ .

$f'' (- 1.6) = - 49.28 + 50$

Paso 5.2.2.3

Suma $- 49.28$ y $50$ .

$f'' (- 1.6) = 0.72$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $0.72$ .

$0.72$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ porque $f'' (- 1.6)$ es positiva.

Convexo en $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.18$ en la expresión.

$f'' (- 1.18) = 20 {(- 1.18)}^{3} + 84 {(- 1.18)}^{2} + 114 (- 1.18) + 50$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.18$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.18) = 20 \cdot - 1.643032 + 84 {(- 1.18)}^{2} + 114 (- 1.18) + 50$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 1.643032$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 84 {(- 1.18)}^{2} + 114 (- 1.18) + 50$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 1.18$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 84 \cdot 1.3924 + 114 (- 1.18) + 50$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $84$ por $1.3924$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 116.9616 + 114 (- 1.18) + 50$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $114$ por $- 1.18$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 116.9616 - 134.52 + 50$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Suma $- 32.86064$ y $116.9616$ .

$f'' (- 1.18) = 84.10096 - 134.52 + 50$

Paso 6.2.2.2

Resta $134.52$ de $84.10096$ .

$f'' (- 1.18) = - 50.41904 + 50$

Paso 6.2.2.3

Suma $- 50.41904$ y $50$ .

$f'' (- 1.18) = - 0.41904$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.41904$ .

$- 0.41904$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ porque $f'' (- 1.18)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 1, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 20 {(0)}^{3} + 84 {(0)}^{2} + 114 (0) + 50$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 20 \cdot 0 + 84 {(0)}^{2} + 114 (0) + 50$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $20$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 84 {(0)}^{2} + 114 (0) + 50$

Paso 7.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 + 84 \cdot 0 + 114 (0) + 50$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $84$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 114 (0) + 50$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $114$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 0 + 50$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 7.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 50$

Paso 7.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = 0 + 50$

Paso 7.2.2.3

Suma $0$ y $50$ .

$f'' (0) = 50$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $50$ .

$50$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 1, \infty)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- 1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9