Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x + 2$ y $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.2.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 + 0) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 2 - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.2.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4

Diferencia.

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Paso 1.1.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (1 + 0))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) \cdot 1)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.5.2

Multiplica $x + 4$ por $1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.5.2.1.1

Reescribe ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$\frac{2 ((x + 4) (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.2

Expande $(x + 4) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.5.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.5.2.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8 x + 16) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 16 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.1.5.2.1.5.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 2 \cdot 16 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.5.2.1.6.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 4 x - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.6.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 4 x - 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.7

Expande $(- 4 x - 4) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.5.2.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x (x + 4) - 4 (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 - 4 (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.5.2.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.5.2.1.8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.5.2.1.8.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.8.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.8.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 16 x - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.8.1.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 16 x - 4 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.8.2

Resta $4 x$ de $- 16 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 20 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.2

Resta $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 32 - 20 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.3

Resta $20 x$ de $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 32 - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.4

Resta $16$ de $32$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.5.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} - 4 x + 16$ .

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Paso 1.1.1.5.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) - 4 x + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x) + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3.1.3

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3.1.4

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x) + 2 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2} - 2 x) + 2 (8)$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1.5.3.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 1.1.1.5.3.2.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 2 (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3.2.1.2

Reescribe $- 2$ como $2$ más $- 4$

$\frac{2 (- x^{2} + (2 - 4) x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} + 2 x - 4 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.5.3.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 ((- x^{2} + 2 x) - 4 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 (x (- x + 2) + 4 (- x + 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$\frac{2 ((- x + 2) (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

$\frac{2 (- x + 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4

Cancela el factor común de $x + 4$ y ${(x + 4)}^{4}$ .

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Paso 1.1.1.5.4.1

Factoriza $x + 4$ de $2 (- x + 2) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.5.4.2.1

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4}$ .

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.1.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.1.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (- x + 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.1.5.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.1.5.6

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.1.5.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x - 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.1.5.8

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.1.5.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 (x - 2)}{{(x + 4)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(x + 4)}^{3}}]$

Paso 1.1.2.2

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.3.5.2

Multiplica ${(x + 4)}^{3}$ por $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.2.5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.5.2

Factoriza ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.2.1

Factoriza ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{3}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.5.2.2

Factoriza ${(x + 4)}^{2}$ de $- 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.5.2.3

Factoriza ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 1.1.2.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1

Factoriza ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{6}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela el factor común.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.6.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.10

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.10.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.10.3

Combina $- 2$ y $\frac{x + 4 - 3 (x - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$\frac{- 2 (x + 4 - 3 (x - 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.10.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (x + 4 - 3 (x - 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11

Simplifica.

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Paso 1.1.2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 x + 2 \cdot 4 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.11.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.11.3.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{2 x + 8 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.3.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.3.1.3

Multiplica $2 (- 3 \cdot - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.11.3.1.3.1

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 \cdot 6}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.3.1.3.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.3.2

Resta $6 x$ de $2 x$ .

$- \frac{- 4 x + 8 + 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.3.3

Suma $8$ y $12$ .

$- \frac{- 4 x + 20}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.4

Factoriza $4$ de $- 4 x + 20$ .

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Paso 1.1.2.11.4.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$- \frac{4 (- x) + 20}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.4.2

Factoriza $4$ de $20$ .

$- \frac{4 (- x) + 4 (5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.4.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (5)$ .

$- \frac{4 (- x + 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{4 (- (x) + 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.6

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- \frac{4 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$- \frac{4 (- (x - 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.8

Reescribe $- (x - 5)$ como $- 1 (x - 5)$ .

$- \frac{4 (- 1 (x - 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.11

Multiplica $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 (x - 5) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $4 (x - 5) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1.1

Divide cada término en $4 (x - 5) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.3.1.2.1.2

Divide $x - 5$ por $1$ .

$x - 5 = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x - 5 = 0$

Paso 1.2.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 4}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 4}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{4 ((- 6) - 5)}{{((- 6) + 4)}^{4}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Resta $5$ de $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{{(- 6 + 4)}^{4}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Suma $- 6$ y $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{{(- 2)}^{4}}$

Paso 4.2.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{16}$

Paso 4.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $4$ por $- 11$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 44}{16}$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común de $- 44$ y $16$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $- 44$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (- 11)}{16}$

Paso 4.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 4}$

Paso 4.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 4}$

Paso 4.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{- 11}{4}$

Paso 4.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 6) = - \frac{11}{4}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $- \frac{11}{4}$ .

$- \frac{11}{4}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 4)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 4, 5)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{4 ((0) - 5)}{{((0) + 4)}^{4}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Resta $5$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 4)}^{4}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Suma $0$ y $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4^{4}}$

Paso 5.2.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{256}$

Paso 5.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$f'' (0) = \frac{- 20}{256}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $- 20$ y $256$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $- 20$ .

$f'' (0) = \frac{4 (- 5)}{256}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $256$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 64}$

Paso 5.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 64}$

Paso 5.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{- 5}{64}$

Paso 5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = - \frac{5}{64}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- \frac{5}{64}$ .

$- \frac{5}{64}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 4, 5)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 4, 5)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(5, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f'' (8) = \frac{4 ((8) - 5)}{{((8) + 4)}^{4}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Resta $5$ de $8$ .

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{{(8 + 4)}^{4}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Suma $8$ y $4$ .

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{12^{4}}$

Paso 6.2.2.2

Eleva $12$ a la potencia de $4$ .

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{20736}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$f'' (8) = \frac{12}{20736}$

Paso 6.2.3.2

Cancela el factor común de $12$ y $20736$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $12$ de $12$ .

$f'' (8) = \frac{12 (1)}{20736}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.2.1

Factoriza $12$ de $20736$ .

$f'' (8) = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 1728}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (8) = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 1728}$

Paso 6.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (8) = \frac{1}{1728}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{1728}$ .

$\frac{1}{1728}$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(5, \infty)$ porque $f'' (8)$ es positiva.

Convexo en $(5, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 4)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Cóncavo en $(- 4, 5)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(5, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8