Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{(5 \ln (x))}{x}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 \ln (x)}{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x$ .

$5 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$5 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.1.4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$5 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$5 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.4.4

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$5 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.4.4.2

Combina $5$ y $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{5 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.5.2.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5 + 5 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.5.2.2

Multiplica $5 (- \ln (x))$ .

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Paso 1.1.1.5.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 - 5 \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.5.2.2.2

Simplifica $- 5 \ln (x)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f' (x) = \frac{5 - \ln (x^{5})}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - \ln (x^{5})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x^{5})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$\frac{x^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}])) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{5}])) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$\frac{x^{2} (- (\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}])) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.2.4.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{5}$ .

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Paso 1.1.2.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.4.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{- \frac{1}{x^{3}} (5 x^{4}) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.2.4.4.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 \frac{1}{x^{3}} x^{4} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.4.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{- 5}{x^{3}} x^{4} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.4.3

Combina $\frac{- 5}{x^{3}}$ y $x^{4}$ .

$\frac{\frac{- 5 x^{4}}{x^{3}} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.4.4

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{3}$ .

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Paso 1.1.2.4.4.4.1

Factoriza $x^{3}$ de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{\frac{x^{3} (- 5 x)}{x^{3}} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.4.4.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\frac{x^{3} (- 5 x)}{x^{3} \cdot 1} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x^{3} (- 5 x)}{x^{3} \cdot 1} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{- 5 x}{1} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.4.4.2.4

Divide $- 5 x$ por $1$ .

$\frac{- 5 x - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{- 5 x - (5 - \ln (x^{5})) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.2.4.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 x - 2 (5 - \ln (x^{5})) x}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.6.2

Factoriza $x$ de $- 5 x - 2 (5 - \ln (x^{5})) x$ .

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Paso 1.1.2.4.6.2.1

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{x \cdot - 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})) x}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.6.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 (5 - \ln (x^{5})) x$ .

$\frac{x \cdot - 5 + x (- 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.6.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot - 5 + x (- 2 (5 - \ln (x^{5})))$ .

$\frac{x (- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.5.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 1.1.2.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 1.1.2.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5}))}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.1.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 5 - 2 \cdot 5 - 2 (- \ln (x^{5}))}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{- 5 - 10 - 2 (- \ln (x^{5}))}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.2.1.2

Multiplica $- 2 (- \ln (x^{5}))$ .

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Paso 1.1.2.6.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 5 - 10 + 2 \ln (x^{5})}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.2.1.2.2

Simplifica $2 \ln (x^{5})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{- 5 - 10 + \ln ({(x^{5})}^{2})}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 5 - 10 + \ln (x^{5 \cdot 2})}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.2.1.3.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{- 5 - 10 + \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.2.2

Resta $10$ de $- 5$ .

$\frac{- 15 + \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.3

Reescribe $- 15$ como $- 1 (15)$ .

$\frac{- 1 (15) + \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.4

Factoriza $- 1$ de $\ln (x^{10})$ .

$\frac{- 1 (15) - 1 (- \ln (x^{10}))}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (15) - 1 (- \ln (x^{10}))$ .

$\frac{- 1 (15 - \ln (x^{10}))}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}}$ .

$- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$15 - \ln (x^{10}) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$- \ln (x^{10}) = - 15$

Paso 1.2.3.2

Divide cada término en $- \ln (x^{10}) = - 15$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Divide cada término en $- \ln (x^{10}) = - 15$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{10})}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (x^{10})}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Divide $\ln (x^{10})$ por $1$ .

$\ln (x^{10}) = \frac{- 15}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.3.1

Divide $- 15$ por $- 1$ .

$\ln (x^{10}) = 15$

Paso 1.2.3.3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{10})} = e^{15}$

Paso 1.2.3.4

Reescribe $\ln (x^{10}) = 15$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{15} = x^{10}$

Paso 1.2.3.5

Resuelve $x$

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Paso 1.2.3.5.1

Reescribe la ecuación como $x^{10} = e^{15}$ .

$x^{10} = e^{15}$

Paso 1.2.3.5.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[10]{e^{15}}$

Paso 1.2.3.5.3

Simplifica $\pm \sqrt[10]{e^{15}}$ .

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Paso 1.2.3.5.3.1

Factoriza $e^{10}$ .

$x = \pm \sqrt[10]{e^{10} e^{5}}$

Paso 1.2.3.5.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm e \sqrt[10]{e^{5}}$

Paso 1.2.3.5.3.3

Reescribe $\sqrt[10]{e^{5}}$ como $\sqrt{\sqrt[5]{e^{5}}}$ .

$x = \pm e \sqrt{\sqrt[5]{e^{5}}}$

Paso 1.2.3.5.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = \pm e \sqrt{e}$

Paso 1.2.3.5.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.5.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = e \sqrt{e}$

Paso 1.2.3.5.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - e \sqrt{e}$

Paso 1.2.3.5.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = e \sqrt{e}, - e \sqrt{e}$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{5 \ln (x)}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x > 0$

Paso 2.2

Establece el denominador en $\frac{5 \ln (x)}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(0, e \sqrt{e}) \cup (e \sqrt{e}, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, e \sqrt{e})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = - \frac{15 - \ln ({(2)}^{10})}{{(2)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $10$ .

$f'' (2) = - \frac{15 - \ln (1024)}{2^{3}}$

Paso 4.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2) = - \frac{15 - \ln (1024)}{8}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- \frac{15 - \ln (1024)}{8}$ .

$- \frac{15 - \ln (1024)}{8}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(0, e \sqrt{e})$ porque $f'' (2)$ es negativa.

Cóncavo en $(0, e \sqrt{e})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(e \sqrt{e}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f'' (7) = - \frac{15 - \ln ({(7)}^{10})}{{(7)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Eleva $7$ a la potencia de $10$ .

$f'' (7) = - \frac{15 - \ln (282475249)}{7^{3}}$

Paso 5.2.2

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f'' (7) = - \frac{15 - \ln (282475249)}{343}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- \frac{15 - \ln (282475249)}{343}$ .

$- \frac{15 - \ln (282475249)}{343}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(e \sqrt{e}, \infty)$ porque $f'' (7)$ es positiva.

Convexo en $(e \sqrt{e}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(0, e \sqrt{e})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(e \sqrt{e}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7