Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2 x} \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t$

Paso 1

Calcula la derivada de $\int_{1}^{2 x} \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$\frac{d}{d x} [2 x] \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Paso 2.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Paso 2.3.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2 \frac{{(2 (x))}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Paso 2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.1

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$2 \frac{2^{2} x^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Paso 2.3.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Paso 2.3.4

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{{(2 (x))}^{2} + 1}$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{2^{2} x^{2} + 1}$

Paso 2.3.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$

Paso 2.3.6

Combina $2$ y $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 (4 x^{2})}{4 x^{2} + 1}$

Paso 2.3.7

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$