Cálculo Ejemplos

$\int_{x}^{x^{2}} t^{2} d t$

Paso 1

Divide la integral en dos integrales en los que $c$ sea algún valor entre $x$ y $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t + \int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\int_{x}^{c} t^{2} d t + \int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Paso 3

Intercambia las cotas de integración.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Paso 4

Calcula la derivada de $- \int_{c}^{x} t^{2} d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Paso 5

Calcula la derivada de $\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] {(x^{2})}^{2}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 6.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- x^{2} + 2 x {(x^{2})}^{2}$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2} + 2 x \cdot x^{2 \cdot 2}$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- x^{2} + 2 x \cdot x^{4}$

Paso 7

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $x^{4}$ .

$- x^{2} + 2 (x^{4} x)$

Paso 7.2

Multiplica $x^{4}$ por $x$ .

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Paso 7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- x^{2} + 2 (x^{4} x^{1})$

Paso 7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{2} + 2 x^{4 + 1}$

Paso 7.3

Suma $4$ y $1$ .

$- x^{2} + 2 x^{5}$

Paso 8

Reordena los términos.

$2 x^{5} - x^{2}$