Cálculo Ejemplos

$\int_{- x}^{x} (t^{2} + t) d t$

Paso 1

Divide la integral en dos integrales en los que $c$ sea algún valor entre $- x$ y $x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t + \int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t + \int_{c}^{x} t^{2} + t d t$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Paso 3

Intercambia las cotas de integración.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- x} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Paso 4

Calcula la derivada de $- \int_{c}^{- x} t^{2} + t d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$\frac{d}{d x} [- x] (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Paso 5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- - ({(- x)}^{2} - x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Paso 6

Calcula la derivada de $\int_{c}^{x} t^{2} + t d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo.

$- - ({(- x)}^{2} - x) + x^{2} + x$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- - ({(- (x))}^{2} - x) + x^{2} + x$

Paso 7.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.1

Aplica la regla del producto a $- (x)$ .

$- - ({(- 1)}^{2} x^{2} - x) + x^{2} + x$

Paso 7.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- - (1 x^{2} - x) + x^{2} + x$

Paso 7.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- - (x^{2} - x) + x^{2} + x$

Paso 7.2.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (x^{2} - x) + x^{2} + x$

Paso 7.2.5

Multiplica $x^{2} - x$ por $1$ .

$x^{2} - x + x^{2} + x$

Paso 7.3

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$2 x^{2} - x + x$

Paso 7.4

Suma $- x$ y $x$ .

$2 x^{2} + 0$

Paso 7.5

Suma $2 x^{2}$ y $0$ .

$2 x^{2}$