Cálculo Ejemplos

$y = 4 x e^{2 x}$

Paso 1

Escribe $y = 4 x e^{2 x}$ como una función.

$f (x) = 4 x e^{2 x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$4 (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.4

Diferencia.

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Paso 2.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$4 (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1)$

Paso 2.1.4.5

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$4 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x})$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x (2 e^{2 x})) + 4 e^{2 x}$

Paso 2.1.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Paso 2.1.5.3

Reordena los términos.

$8 e^{2 x} x + 4 e^{2 x}$

Paso 2.1.5.4

Reordena los factores en $8 e^{2 x} x + 4 e^{2 x}$ .

$f' (x) = 8 x e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x e^{2 x} + 4 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$8 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 2.2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$8 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 2.2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$8 (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 2.2.2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 2.2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 2.2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 2.2.2.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$8 (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 2.2.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$8 (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 2.2.2.9

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Paso 2.2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (e^{2 x} \cdot 2)$

Paso 2.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 (2 \cdot e^{2 x})$

Paso 2.2.3.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 8 e^{2 x}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (x (2 e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 8 e^{2 x}$

Paso 2.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.2.4.2.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 (x (e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 8 e^{2 x}$

Paso 2.2.4.2.2

Suma $8 e^{2 x}$ y $8 e^{2 x}$ .

$16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x}$

Paso 2.2.4.3

Reordena los términos.

$16 e^{2 x} x + 16 e^{2 x}$

Paso 2.2.4.4

Reordena los factores en $16 e^{2 x} x + 16 e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x}$ .

$16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $16 e^{2 x}$ de $16 x e^{2 x} + 16 e^{2 x}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $16 e^{2 x}$ de $16 x e^{2 x}$ .

$16 e^{2 x} (x) + 16 e^{2 x} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $16 e^{2 x}$ de $16 e^{2 x}$ .

$16 e^{2 x} (x) + 16 e^{2 x} (1) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $16 e^{2 x}$ de $16 e^{2 x} (x) + 16 e^{2 x} (1)$ .

$16 e^{2 x} (x + 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{2 x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{2 x}$ igual a $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{2 x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{2 x} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $16 e^{2 x} (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 1$ en $f (x) = 4 x e^{2 x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 4 (- 1) \cdot e^{2 (- 1)}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 \cdot e^{2 (- 1)}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 \cdot e^{- 2}$

Paso 4.1.2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Paso 4.1.2.4

Combina $- 4$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 1) = \frac{- 4}{e^{2}}$

Paso 4.1.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = - \frac{4}{e^{2}}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $- \frac{4}{e^{2}}$ .

$- \frac{4}{e^{2}}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = 4 x e^{2 x}$ es $(- 1, - \frac{4}{e^{2}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, - \frac{4}{e^{2}})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = 16 (- 1.1) \cdot e^{2 (- 1.1)} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $16$ por $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 17.6 \cdot e^{2 (- 1.1)} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 17.6 \cdot e^{- 2.2} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Paso 6.2.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.1) = - 17.6 \cdot \frac{1}{e^{2.2}} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Paso 6.2.1.4

Combina $- 17.6$ y $\frac{1}{e^{2.2}}$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 17.6}{e^{2.2}} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Paso 6.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 1.1) = - \frac{17.6}{e^{2.2}} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Paso 6.2.1.6

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 1.1) = - \frac{17.6}{{2.71828182}^{2.2}} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Paso 6.2.1.7

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $2.2$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{17.6}{9.02501349} + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Paso 6.2.1.8

Divide $17.6$ por $9.02501349$ .

$f'' (- 1.1) = - 1 \cdot 1.95013558 + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $1.95013558$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.95013558 + 16 e^{2 (- 1.1)}$

Paso 6.2.1.10

Multiplica $2$ por $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.95013558 + 16 e^{- 2.2}$

Paso 6.2.1.11

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.95013558 + 16 (\frac{1}{e^{2.2}})$

Paso 6.2.1.12

Combina $16$ y $\frac{1}{e^{2.2}}$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.95013558 + \frac{16}{e^{2.2}}$

Paso 6.2.2

Suma $- 1.95013558$ y $\frac{16}{e^{2.2}}$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.17728505$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.17728505$ .

$- 0.17728505$

Paso 6.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $- 0.17728505$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.9$ en la expresión.

$f'' (- 0.9) = 16 (- 0.9) \cdot e^{2 (- 0.9)} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $16$ por $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.4 \cdot e^{2 (- 0.9)} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.4 \cdot e^{- 1.8} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Paso 7.2.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.4 \cdot \frac{1}{e^{1.8}} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Paso 7.2.1.4

Combina $- 14.4$ y $\frac{1}{e^{1.8}}$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{- 14.4}{e^{1.8}} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Paso 7.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 0.9) = - \frac{14.4}{e^{1.8}} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Paso 7.2.1.6

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 0.9) = - \frac{14.4}{{2.71828182}^{1.8}} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Paso 7.2.1.7

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $1.8$ .

$f'' (- 0.9) = - \frac{14.4}{6.04964746} + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Paso 7.2.1.8

Divide $14.4$ por $6.04964746$ .

$f'' (- 0.9) = - 1 \cdot 2.38030399 + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $2.38030399$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.38030399 + 16 e^{2 (- 0.9)}$

Paso 7.2.1.10

Multiplica $2$ por $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.38030399 + 16 e^{- 1.8}$

Paso 7.2.1.11

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.38030399 + 16 (\frac{1}{e^{1.8}})$

Paso 7.2.1.12

Combina $16$ y $\frac{1}{e^{1.8}}$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.38030399 + \frac{16}{e^{1.8}}$

Paso 7.2.2

Suma $- 2.38030399$ y $\frac{16}{e^{1.8}}$ .

$f'' (- 0.9) = 0.26447822$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.26447822$ .

$0.26447822$

Paso 7.3

En $- 0.9$ , la segunda derivada es $0.26447822$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1, \infty)$ .

Incremento en $(- 1, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- 1, - \frac{4}{e^{2}})$ .

$(- 1, - \frac{4}{e^{2}})$

Paso 9