Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x} + \sqrt{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 2.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 2.1.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 2.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.10

Resta $4$ de $1$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.12

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.13

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 2.2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.2.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.2.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.2.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 2.2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 2.2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 2.2.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 2.2.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 2.2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 2.2.3.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.2.3.12

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Paso 2.2.3.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Paso 2.2.3.13.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Paso 2.2.3.13.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Paso 2.2.3.13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Paso 2.2.3.13.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.13.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Paso 2.2.3.13.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Paso 2.2.3.13.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 2.2.3.14

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Paso 2.2.3.15

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 x^{- 3} - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Paso 2.2.3.16

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x^{- 3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.2.4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$

Paso 3.2.2

Como $x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 4, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{3}, x^{\frac{3}{2}}$ .

Paso 3.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.2.5

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2$

Paso 3.2.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.2.7

El MCM de $1, 4, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2 \cdot 2$

Paso 3.2.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$4$

Paso 3.2.9

El MCM de $x^{3}, x^{\frac{3}{2}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{3}$

Paso 3.2.10

El MCM para $x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ es la parte numérica $4$ multiplicada por la parte variable.

$4 x^{3}$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ por $4 x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ por $4 x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (4 x^{3}) - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{2}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $4 \frac{2}{x^{3}}$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Combina $4$ y $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Paso 3.3.2.1.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Paso 3.3.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Paso 3.3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$8 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Paso 3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ al numerador.

$8 + \frac{- 1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Paso 3.3.2.1.4.2

Factoriza $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ de $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (1)} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Paso 3.3.2.1.4.3

Factoriza $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ de $4 x^{3}$ .

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (1)} (x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (x^{\frac{3}{2}})) = 0 (4 x^{3})$

Paso 3.3.2.1.4.4

Cancela el factor común.

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 \cdot 1} (x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 x^{\frac{3}{2}}) = 0 (4 x^{3})$

Paso 3.3.2.1.4.5

Reescribe la expresión.

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0 (4 x^{3})$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $0 (4 x^{3})$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0 x^{3}$

Paso 3.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{3}$ .

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{\frac{3}{2}} = - 8$

Paso 3.4.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{2}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(- x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1.1

Simplifica ${(- x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.4.3.1.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.3.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- x^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.1.1.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.1.1.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.3.1.1.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.1.1.3.2

Multiplica ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.1.1.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.4.3.1.1.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.1.1.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.3.1.1.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.1.1.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.1.1.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.3.1.1.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.1.1.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.1.1.4

Simplifica.

$x = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.2.1

Simplifica ${(- 8)}^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.2.1.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.2.1.1.1

Reescribe $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$x = {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.3.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 3.4.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = {(- 2)}^{2}$

Paso 3.4.3.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = 4$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $4$ en $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{1}{4} + \sqrt{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (4) = \frac{1}{4} + 2$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4.1.2.3

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (4) = \frac{1 + 8}{4}$

Paso 4.1.2.5.2

Suma $1$ y $8$ .

$f (4) = \frac{9}{4}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $4$ en $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ es $(4, \frac{9}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(4, \frac{9}{4})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 4)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.9$ en la expresión.

$f'' (3.9) = \frac{2}{{(3.9)}^{3}} - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $3.9$ a la potencia de $3$ .

$f'' (3.9) = \frac{2}{59.319} - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $2$ por $59.319$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.2.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.3.1

Reescribe $3.9$ como ${1.97484176}^{2}$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {({1.97484176}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 6.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 6.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{3}}$

Paso 6.2.1.3.4

Eleva $1.97484176$ a la potencia de $3$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot 7.70188288}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $4$ por $7.70188288$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{30.80753154}$

Paso 6.2.1.5

Divide $1$ por $30.80753154$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - 1 \cdot 0.03245959$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $0.03245959$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - 0.03245959$

Paso 6.2.2

Resta $0.03245959$ de $0.03371601$ .

$f'' (3.9) = 0.00125641$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.00125641$ .

$0.00125641$

Paso 6.3

En $3.9$ , la segunda derivada es $0.00125641$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 4)$ .

Incremento en $(- \infty, 4)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4.1$ en la expresión.

$f'' (4.1) = \frac{2}{{(4.1)}^{3}} - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $4.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4.1) = \frac{2}{68.921} - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $2$ por $68.921$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7.2.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.3.1

Reescribe $4.1$ como ${2.02484567}^{2}$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {({2.02484567}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 7.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 7.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{3}}$

Paso 7.2.1.3.4

Eleva $2.02484567$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot 8.30186725}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $4$ por $8.30186725$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{33.20746903}$

Paso 7.2.1.5

Divide $1$ por $33.20746903$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - 1 \cdot 0.0301137$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $0.0301137$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - 0.0301137$

Paso 7.2.2

Resta $0.0301137$ de $0.02901873$ .

$f'' (4.1) = - 0.00109497$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 0.00109497$ .

$- 0.00109497$

Paso 7.3

En $4.1$ , la segunda derivada es $- 0.00109497$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(4, \infty)$ .

Decrecimiento en $(4, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(4, \frac{9}{4})$ .

$(4, \frac{9}{4})$

Paso 9