Cálculo Ejemplos

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 x^{2} y$ , $(- 1, 1)$

Paso 1

Escribe $x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$ como una función.

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y$

Paso 2

Resta $4 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 4 x^{2} y = 0$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Reescribe ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ como $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ .

$(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y = 0$

Paso 3.2

Expande $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y = 0$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y = 0$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} - 4 x^{2} y = 0$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} - 4 x^{2} y = 0$

Paso 3.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} - 4 x^{2} y = 0$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} - 4 x^{2} y = 0$

Paso 3.3.1.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$

Paso 3.3.2

Suma $x^{2} y^{2}$ y $y^{2} x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Reordena $y^{2}$ y $x^{2}$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$

Paso 3.3.2.2

Suma $x^{2} y^{2}$ y $x^{2} y^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$

Paso 4

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 4.1

Evalúa $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y$ en $x = - 1$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{2} y^{2} + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{2} y^{2} + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot (1 y^{2}) + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

Paso 4.1.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 \cdot (1 y)$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$

Paso 4.1.2.2

La respuesta final es $1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$ .

$1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$

Paso 4.2

Como $1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$ $\neq$ $1$ , el punto no está en la gráfica.

El punto no está en la gráfica.

Paso 5