Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 2 x^{\frac{3}{2}} + 9 x + 15$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{\frac{3}{2}} + 9 x + 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$- 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$- 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.8

Combina $- 2$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.9

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.10

Factoriza $2$ de $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.2.11.4

Divide $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.3.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9 + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9$ y $0$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.9

Combina $- 3$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{\frac{3}{2}} + 9 x + 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$- 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$- 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.8

Combina $- 2$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.10

Factoriza $2$ de $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.2.11.4

Divide $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9 + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9$ y $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{\frac{1}{2}} + 9$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + 9 = 0$

Paso 5.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{\frac{1}{2}} = - 9$

Paso 5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

Paso 5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1.1

Simplifica ${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

Paso 5.4.1.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

Paso 5.4.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.4.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 9)}^{2}$

Paso 5.4.1.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 9)}^{2}$

Paso 5.4.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$9 x^{1} = {(- 9)}^{2}$

Paso 5.4.1.1.4

Simplifica.

$9 x = {(- 9)}^{2}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$9 x = 81$

Paso 5.5

Divide cada término en $9 x = 81$ por $9$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $9 x = 81$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{81}{9}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{81}{9}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{81}{9}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Divide $81$ por $9$ .

$x = 9$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- 3 \sqrt{x^{1}} + 9$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- 3 \sqrt{x} + 9$

Paso 6.2

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 6.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 9$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 9$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{3}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 9.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 9.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{2 \cdot 3^{1}}$

Paso 9.1.4

Evalúa el exponente.

$- \frac{3}{2 \cdot 3}$

Paso 9.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{3}{6}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{3 (1)}{6}$

Paso 9.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 9.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 9.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2}$

Paso 10

$x = 9$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 9$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 9$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f (9) = - 2 {(9)}^{\frac{3}{2}} + 9 (9) + 15$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (9) = - 2 {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + 9 (9) + 15$

Paso 11.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (9) = - 2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 9 (9) + 15$

Paso 11.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (9) = - 2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 9 (9) + 15$

Paso 11.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (9) = - 2 \cdot 3^{3} + 9 (9) + 15$

Paso 11.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (9) = - 2 \cdot 27 + 9 (9) + 15$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $27$ .

$f (9) = - 54 + 9 (9) + 15$

Paso 11.2.1.6

Multiplica $9$ por $9$ .

$f (9) = - 54 + 81 + 15$

Paso 11.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 11.2.2.1

Suma $- 54$ y $81$ .

$f (9) = 27 + 15$

Paso 11.2.2.2

Suma $27$ y $15$ .

$f (9) = 42$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $42$ .

$y = 42$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = - 2 x^{\frac{3}{2}} + 9 x + 15$ .

$(9, 42)$ es un máximo local

Paso 13