Cálculo Ejemplos

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$

Paso 1

Escribe $(x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ como una función.

$f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 11 x + 32$ y $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 32]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 32]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 11 x + 32$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32])$

Paso 2.1.3.3

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11 x$ con respecto a $x$ es $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32])$

Paso 2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32])$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $- 11$ por $1$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 + \frac{d}{d x} [32])$

Paso 2.1.3.6

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 + 0)$

Paso 2.1.3.7

Suma $2 x - 11$ y $0$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11)$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x - 11)$

Paso 2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 11$

Paso 2.1.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.1.4.3.1

Mueve $- 11$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x) - 11 \cdot e^{x}$

Paso 2.1.4.3.2

Suma $- 11 x e^{x}$ y $e^{x} (2 x)$ .

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Paso 2.1.4.3.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 2 x e^{x} + 32 e^{x} - 11 e^{x}$

Paso 2.1.4.3.2.2

Suma $- 11 x e^{x}$ y $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 32 e^{x} - 11 e^{x}$

Paso 2.1.4.3.3

Resta $11 e^{x}$ de $32 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$

Paso 2.1.4.4

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} - 9 e^{x} x + 21 e^{x}$

Paso 2.1.4.5

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} - 9 e^{x} x + 21 e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Paso 2.2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Paso 2.2.3.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Paso 2.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [21 e^{x}]$ .

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Paso 2.2.4.1

Como $21$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $21 e^{x}$ con respecto a $x$ es $21 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + 21 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + 21 e^{x}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x}) - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

Paso 2.2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.2.5.2.1

Resta $9 x e^{x}$ de $e^{x} (2 x)$ .

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Paso 2.2.5.2.1.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x e^{x} - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

Paso 2.2.5.2.1.2

Resta $9 x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

Paso 2.2.5.2.2

Suma $- 9 e^{x}$ y $21 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

Paso 2.2.5.3

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} - 7 e^{x} x + 12 e^{x}$

Paso 2.2.5.4

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} - 7 e^{x} x + 12 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $- 7 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x) + 12 e^{x} = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $e^{x}$ de $12 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x) + e^{x} \cdot 12 = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x)$ .

$e^{x} (x^{2} - 7 x) + e^{x} \cdot 12 = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x^{2} - 7 x) + e^{x} \cdot 12$ .

$e^{x} (x^{2} - 7 x + 12) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 7 x + 12$ con el método AC.

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Paso 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 4, - 3$

Paso 3.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$e^{x} ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Paso 3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$e^{x} (x - 4) (x - 3) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x - 4) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 4, 3$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $4$ en $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = ({(4)}^{2} - 11 \cdot 4 + 32) \cdot e^{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = (16 - 11 \cdot 4 + 32) \cdot e^{4}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 11$ por $4$ .

$f (4) = (16 - 44 + 32) \cdot e^{4}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $44$ de $16$ .

$f (4) = (- 28 + 32) \cdot e^{4}$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $- 28$ y $32$ .

$f (4) = 4 e^{4}$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $4 e^{4}$ .

$4 e^{4}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $4$ en $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ es $(4, 4 e^{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(4, 4 e^{4})$

Paso 4.3

Sustituye $3$ en $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = ({(3)}^{2} - 11 \cdot 3 + 32) \cdot e^{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = (9 - 11 \cdot 3 + 32) \cdot e^{3}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $- 11$ por $3$ .

$f (3) = (9 - 33 + 32) \cdot e^{3}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.3.2.2.1

Resta $33$ de $9$ .

$f (3) = (- 24 + 32) \cdot e^{3}$

Paso 4.3.2.2.2

Suma $- 24$ y $32$ .

$f (3) = 8 e^{3}$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $8 e^{3}$ .

$8 e^{3}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $3$ en $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ es $(3, 8 e^{3})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(3, 8 e^{3})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(4, 4 e^{4}), (3, 8 e^{3})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.9$ en la expresión.

$f'' (2.9) = {(2.9)}^{2} e^{2.9} - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $2.9$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.9) = 8.41 e^{2.9} - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $8.41$ por $e^{2.9}$ .

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 7$ por $2.9$ .

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 20.3 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 20.3$ por $e^{2.9}$ .

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 368.93515099 + 12 e^{2.9}$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 6.2.2.1

Resta $368.93515099$ de $152.84456255$ .

$f'' (2.9) = - 216.09058844 + 12 e^{2.9}$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 216.09058844$ y $12 e^{2.9}$ .

$f'' (2.9) = 1.99915599$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1.99915599$ .

$1.99915599$

Paso 6.3

En $2.9$ , la segunda derivada es $1.99915599$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 3)$ .

Incremento en $(- \infty, 3)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(3, 4)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7}{2}$ en la expresión.

$f'' (\frac{7}{2}) = {(\frac{7}{2})}^{2} e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{7^{2}}{2^{2}} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49}{2^{2}} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49}{4} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.1.4

Combina $\frac{49}{4}$ y $e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $- 7 (\frac{7}{2})$ .

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Paso 7.2.1.5.1

Combina $- 7$ y $\frac{7}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.1.5.2

Multiplica $- 7$ por $7$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 49}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.1.7

Combina $e^{\frac{7}{2}}$ y $\frac{49}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{e^{\frac{7}{2}} \cdot 49}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.1.8

Mueve $49$ a la izquierda de $e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.2

Para escribir $- \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $\frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}} - 49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1.1

Multiplica $2$ por $- 49$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}} - 98 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.5.1.2

Resta $98 e^{\frac{7}{2}}$ de $49 e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Paso 7.2.6

Para escribir $12 e^{\frac{7}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.7

Combina fracciones.

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Paso 7.2.7.1

Combina $12 e^{\frac{7}{2}}$ y $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{12 e^{\frac{7}{2}} \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}} \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.8.1

Multiplica $4$ por $12$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}} + 48 e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Paso 7.2.8.2

Suma $- 49 e^{\frac{7}{2}}$ y $48 e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Paso 7.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Paso 7.2.10

La respuesta final es $- \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Paso 7.3

En $\frac{7}{2}$ , la segunda derivada es $- 8.27886298$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(3, 4)$ .

Decrecimiento en $(3, 4)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $4.1$ en la expresión.

$f'' (4.1) = {(4.1)}^{2} e^{4.1} - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $4.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4.1) = 16.81 e^{4.1} - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $16.81$ por $e^{4.1}$ .

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 7$ por $4.1$ .

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 28.7 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 28.7$ por $e^{4.1}$ .

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 1731.76625404 + 12 e^{4.1}$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 8.2.2.1

Resta $1731.76625404$ de $1014.32023451$ .

$f'' (4.1) = - 717.44601953 + 12 e^{4.1}$

Paso 8.2.2.2

Suma $- 717.44601953$ y $12 e^{4.1}$ .

$f'' (4.1) = 6.63743163$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $6.63743163$ .

$6.63743163$

Paso 8.3

En $4.1$ , la segunda derivada es $6.63743163$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(4, \infty)$ .

Incremento en $(4, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(3, 8 e^{3}), (4, 4 e^{4})$ .

$(3, 8 e^{3}), (4, 4 e^{4})$

Paso 10