Cálculo Ejemplos

$\sin (x) - \cos (x)$

Paso 1

Escribe $\sin (x) - \cos (x)$ como una función.

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x) + \cos (x)$ .

$- \sin (x) + \cos (x)$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Paso 3.2

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3.3

Separa las fracciones.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3.4

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3.5

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Cancela el factor común.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3.6.2

Reescribe la expresión.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3.7

Separa las fracciones.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 3.9

Divide $0$ por $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Paso 3.10

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Paso 3.11

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \tan (x) = - 1$

Paso 3.12

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.1

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.12.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.12.2.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.12.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Paso 3.13

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 3.14

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.14.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 3.15

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 3.16

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.16.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 3.16.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.16.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 3.16.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 3.16.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.16.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 3.16.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 3.17

Obtén el período de $\tan (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 3.17.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 3.17.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 3.17.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 3.18

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ en $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.1.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{0}{2}$

Paso 4.1.2.2.3

Divide $0$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{π}{4}$ en $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ es $(\frac{π}{4}, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{π}{4}, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $\frac{5 π}{4}$ en $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 4.3.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 4.3.2.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3.2.1.5

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 4.3.2.1.5.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3.2.2.2

Suma $- \sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Paso 4.3.2.2.3

Divide $0$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{5 π}{4}$ en $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ es $(\frac{5 π}{4}, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{5 π}{4}, 0)$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{π}{4}, 0), (\frac{5 π}{4}, 0)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}) \cup (\frac{5 π}{4}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{π}{4})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.68539816$ en la expresión.

$f'' (0.68539816) = - \sin (0.68539816) + \cos (0.68539816)$

Paso 6.2

La respuesta final es $- \sin (0.68539816) + \cos (0.68539816)$ .

$- \sin (0.68539816) + \cos (0.68539816)$

Paso 6.3

En $0.68539816$ , la segunda derivada es $0.14118577$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, \frac{π}{4})$ .

Incremento en $(- \infty, \frac{π}{4})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.35619449$ en la expresión.

$f'' (2.35619449) = - \sin (2.35619449) + \cos (2.35619449)$

Paso 7.2

La respuesta final es $- \sin (2.35619449) + \cos (2.35619449)$ .

$- \sin (2.35619449) + \cos (2.35619449)$

Paso 7.3

En $2.35619449$ , la segunda derivada es $- 1.41421356$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ .

Decrecimiento en $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{5 π}{4}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $4.02699081$ en la expresión.

$f'' (4.02699081) = - \sin (4.02699081) + \cos (4.02699081)$

Paso 8.2

La respuesta final es $- \sin (4.02699081) + \cos (4.02699081)$ .

$- \sin (4.02699081) + \cos (4.02699081)$

Paso 8.3

En $4.02699081$ , la segunda derivada es $0.14118577$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{5 π}{4}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{5 π}{4}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(\frac{π}{4}, 0), (\frac{5 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{π}{4}, 0), (\frac{5 π}{4}, 0)$

Paso 10