Cálculo Ejemplos

$\frac{(\ln (x))}{x}$

Paso 1

Escribe $\frac{(\ln (x))}{x}$ como una función.

$f (x) = \frac{(\ln (x))}{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.4.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.4.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.2.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.4.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.2.4.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.2.4.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Paso 2.2.4.4.2

Factoriza $x$ de $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

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Paso 2.2.4.4.2.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Paso 2.2.4.4.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$\frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Paso 2.2.4.4.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Paso 2.2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.2.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.2.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Paso 2.2.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.6.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Paso 2.2.6.2.1.2

Multiplica $- 2 (- \ln (x))$ .

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Paso 2.2.6.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Paso 2.2.6.2.1.2.2

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 2.2.6.2.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 2.2.6.3

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 2.2.6.4

Factoriza $- 1$ de $\ln (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Paso 2.2.6.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Paso 2.2.6.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 - \ln (x^{2}) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- \ln (x^{2}) = - 3$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $- \ln (x^{2}) = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $- \ln (x^{2}) = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.3.2.2.2

Divide $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 3$

Paso 3.3.3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{3}$

Paso 3.3.4

Reescribe $\ln (x^{2}) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2}$

Paso 3.3.5

Resuelve $x$

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Paso 3.3.5.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} = e^{3}$ .

$x^{2} = e^{3}$

Paso 3.3.5.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{e^{3}}$

Paso 3.3.5.3

Simplifica $\pm \sqrt{e^{3}}$ .

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Paso 3.3.5.3.1

Factoriza $e^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{e^{2} e}$

Paso 3.3.5.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm e \sqrt{e}$

Paso 3.3.5.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.5.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = e \sqrt{e}$

Paso 3.3.5.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - e \sqrt{e}$

Paso 3.3.5.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = e \sqrt{e}, - e \sqrt{e}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $e \sqrt{e}$ en $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $e \sqrt{e}$ en la expresión.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ por $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

Paso 4.1.2.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ por $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e \sqrt{e} \sqrt{e}}$

Paso 4.1.2.2.2

Mueve $\sqrt{e}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Paso 4.1.2.2.3

Eleva $\sqrt{e}$ a la potencia de $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Paso 4.1.2.2.4

Eleva $\sqrt{e}$ a la potencia de $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Paso 4.1.2.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

Paso 4.1.2.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{2}}$

Paso 4.1.2.2.7

Reescribe ${\sqrt{e}}^{2}$ como $e$ .

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Paso 4.1.2.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{e}$ como $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.1.2.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.1.2.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.1.2.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.1.2.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

Paso 4.1.2.2.7.5

Simplifica.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{1 + 1}}$

Paso 4.1.2.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

Paso 4.1.2.4

La respuesta final es $\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $e \sqrt{e}$ en $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ es $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Paso 4.3

$- e \sqrt{e}$ no está en el dominio de $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ . No hay un punto de inflexión en $- e \sqrt{e}$ .

$- e \sqrt{e}$ is not in the domain

Paso 4.4

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, e \sqrt{e}) \cup (e \sqrt{e}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, e \sqrt{e})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $4.38168907$ en la expresión.

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.38168907)}^{2})}{{(4.38168907)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Eleva $4.38168907$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{{4.38168907}^{3}}$

Paso 6.2.2

Eleva $4.38168907$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{84.12492089}$

Paso 6.2.3

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (19.1991991)}{84.12492089}$

Paso 6.2.4

El logaritmo en base $2.71828182$ de $19.1991991$ es aproximadamente $2.95486856$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 2.95486856}{84.12492089}$

Paso 6.2.5

Multiplica $- 1$ por $2.95486856$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 2.95486856}{84.12492089}$

Paso 6.2.6

Resta $2.95486856$ de $3$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{0.04513143}{84.12492089}$

Paso 6.2.7

Divide $0.04513143$ por $84.12492089$ .

$f'' (4.38168907) = - 1 \cdot 0.00053648$

Paso 6.2.8

Multiplica $- 1$ por $0.00053648$ .

$f'' (4.38168907) = - 0.00053648$

Paso 6.2.9

La respuesta final es $- 0.00053648$ .

$- 0.00053648$

Paso 6.3

En $4.38168907$ , la segunda derivada es $- 0.00053648$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, e \sqrt{e})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, e \sqrt{e})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(e \sqrt{e}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4.58168907$ en la expresión.

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.58168907)}^{2})}{{(4.58168907)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Eleva $4.58168907$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{{4.58168907}^{3}}$

Paso 7.2.2

Eleva $4.58168907$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{96.17824304}$

Paso 7.2.3

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (20.99187473)}{96.17824304}$

Paso 7.2.4

El logaritmo en base $2.71828182$ de $20.99187473$ es aproximadamente $3.04413544$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 3.04413544}{96.17824304}$

Paso 7.2.5

Multiplica $- 1$ por $3.04413544$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 3.04413544}{96.17824304}$

Paso 7.2.6

Resta $3.04413544$ de $3$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{- 0.04413544}{96.17824304}$

Paso 7.2.7

Divide $- 0.04413544$ por $96.17824304$ .

$f'' (4.58168907) = 0.00045889$

Paso 7.2.8

La respuesta final es $0.00045889$ .

$0.00045889$

Paso 7.3

En $4.58168907$ , la segunda derivada es $0.00045889$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(e \sqrt{e}, \infty)$ .

Incremento en $(e \sqrt{e}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ .

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Paso 9