Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 3}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x + 3}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 3$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.1.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.1.2.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 3) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.1.2.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1.2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

Paso 2.1.2.7.2

Factoriza $x$ de $x^{2} - 2 (x + 3) x$ .

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Paso 2.1.2.7.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

Paso 2.1.2.7.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 (x + 3) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 3))}{x^{4}}$

Paso 2.1.2.7.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (- 2 (x + 3))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x^{4}}$

Paso 2.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 2 (x + 3)}{x^{3}}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 3}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.4.2.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{x - 2 x - 6}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.2.2

Resta $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 6}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 6}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.4

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$\frac{- (x) - 1 (6)}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (x + 6)}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.6

Reescribe $- (x + 6)$ como $- 1 (x + 6)$ .

$\frac{- 1 (x + 6)}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x + 6}{x^{3}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{x + 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x^{3}}] + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3

Diferencia.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{x^{3} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.5.2

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$- \frac{x^{3} - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{x^{3} - (x + 6) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.2.3.7.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.7.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.7.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} x - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.7.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 (x + 6) x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.7.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))$ .

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4.2

Cancela el factor común.

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \cdot 0$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $\frac{x + 6}{x^{3}}$ por $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + 0$

Paso 2.2.6.2

Suma $- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$ y $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

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Paso 2.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{x - 3 x - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Paso 2.2.7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.7.2.1

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$- \frac{x - 3 x - 18}{x^{4}}$

Paso 2.2.7.2.2

Resta $3 x$ de $x$ .

$- \frac{- 2 x - 18}{x^{4}}$

Paso 2.2.7.3

Factoriza $2$ de $- 2 x - 18$ .

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Paso 2.2.7.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$- \frac{2 (- x) - 18}{x^{4}}$

Paso 2.2.7.3.2

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$- \frac{2 (- x) + 2 (- 9)}{x^{4}}$

Paso 2.2.7.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (- 9)$ .

$- \frac{2 (- x - 9)}{x^{4}}$

Paso 2.2.7.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{2 (- (x) - 9)}{x^{4}}$

Paso 2.2.7.5

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$- \frac{2 (- (x) - 1 (9))}{x^{4}}$

Paso 2.2.7.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (9)$ .

$- \frac{2 (- (x + 9))}{x^{4}}$

Paso 2.2.7.7

Reescribe $- (x + 9)$ como $- 1 (x + 9)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x + 9))}{x^{4}}$

Paso 2.2.7.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Paso 2.2.7.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Paso 2.2.7.10

Multiplica $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (x + 9) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 (x + 9) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1.1

Divide cada término en $2 (x + 9) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.3.1.2.1.2

Divide $x + 9$ por $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{2}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x + 9 = 0$

Paso 3.3.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 9$ en $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 9$ en la expresión.

$f (- 9) = \frac{(- 9) + 3}{{(- 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1.1

Suma $- 9$ y $3$ .

$f (- 9) = \frac{- 6}{{(- 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$f (- 9) = \frac{- 6}{81}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $81$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$f (- 9) = \frac{3 (- 2)}{81}$

Paso 4.1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

Paso 4.1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

Paso 4.1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 9) = \frac{- 2}{27}$

Paso 4.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 9) = - \frac{2}{27}$

Paso 4.1.2.4

La respuesta final es $- \frac{2}{27}$ .

$- \frac{2}{27}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 9$ en $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ es $(- 9, - \frac{2}{27})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 9, - \frac{2}{27})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 9)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 9.1$ en la expresión.

$f'' (- 9.1) = \frac{2 ((- 9.1) + 9)}{{(- 9.1)}^{4}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Suma $- 9.1$ y $9$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{{(- 9.1)}^{4}}$

Paso 6.2.2

Eleva $- 9.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{6857.4961}$

Paso 6.2.3

Multiplica $2$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{- 0.2}{6857.4961}$

Paso 6.2.4

Divide $- 0.2$ por $6857.4961$ .

$f'' (- 9.1) = - 0.00002916$

Paso 6.2.5

La respuesta final es $- 0.00002916$ .

$- 0.00002916$

Paso 6.3

En $- 9.1$ , la segunda derivada es $- 2.91651642 E - 5$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 9)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 9)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 9, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 8.9$ en la expresión.

$f'' (- 8.9) = \frac{2 ((- 8.9) + 9)}{{(- 8.9)}^{4}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Suma $- 8.9$ y $9$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{{(- 8.9)}^{4}}$

Paso 7.2.2

Eleva $- 8.9$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{6274.2241}$

Paso 7.2.3

Multiplica $2$ por $0.1$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{0.2}{6274.2241}$

Paso 7.2.4

Divide $0.2$ por $6274.2241$ .

$f'' (- 8.9) = 0.00003187$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $0.00003187$ .

$0.00003187$

Paso 7.3

En $- 8.9$ , la segunda derivada es $3.18764514 E - 5$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 9, \infty)$ .

Incremento en $(- 9, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- 9, - \frac{2}{27})$ .

$(- 9, - \frac{2}{27})$

Paso 9