Cálculo Ejemplos

$f (x) = 10 x \ln (| x |)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x \ln (| x |)$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (| x |)$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = | x |$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Combina $\frac{1}{| x |}$ y $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.5

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{x}{| x |}$ por $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.10

Suma $1$ y $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.11

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.15

Suma $1$ y $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

Paso 1.17

Multiplica $\ln (| x |)$ por $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

Paso 1.18

Simplifica.

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Paso 1.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Paso 1.18.2

Combina $10$ y $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Paso 1.18.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.18.3.1

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Paso 1.18.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.18.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Paso 1.18.3.2.2

Divide $10$ por $1$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 + 10 \ln (| x |)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

Paso 2.1.2

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 \ln (| x |)$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\ln (| x |))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = | x |$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (| x |))$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

Paso 2.2.3

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |})$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{1}{| x |}$ por $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x | | x |})$

Paso 2.2.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Paso 2.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Paso 2.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Paso 2.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{1 + 1} |})$

Paso 2.2.9

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{2} |})$

Paso 2.2.10

Combina $10$ y $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{10 x}{| x^{2} |}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Suma $0$ y $\frac{10 x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x}{| x^{2} |}$

Paso 2.3.2

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$f'' (x) = \frac{10 x}{x^{2}}$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Factoriza $x$ de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x^{2}}$

Paso 2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

Paso 2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{10}{x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x \ln (| x |)$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (| x |)$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = | x |$ .

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Paso 4.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.4

Combina $\frac{1}{| x |}$ y $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.5

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.6

Multiplica $\frac{x}{| x |}$ por $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.10

Suma $1$ y $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.11

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.15

Suma $1$ y $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

Paso 4.1.17

Multiplica $\ln (| x |)$ por $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

Paso 4.1.18

Simplifica.

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Paso 4.1.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Paso 4.1.18.2

Combina $10$ y $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Paso 4.1.18.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.18.3.1

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Paso 4.1.18.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.1.18.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Paso 4.1.18.3.2.2

Divide $10$ por $1$ .

$f' (x) = 10 + 10 \ln (| x |)$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $10 + 10 \ln (| x |)$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $10 + 10 \ln (| x |) = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

Paso 5.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$10 \ln (| x |) = - 10$

Paso 5.3

Divide cada término en $10 \ln (| x |) = - 10$ por $10$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $10 \ln (| x |) = - 10$ por $10$ .

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $\ln (| x |)$ por $1$ .

$\ln (| x |) = \frac{- 10}{10}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Divide $- 10$ por $10$ .

$\ln (| x |) = - 1$

Paso 5.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| x |)} = e^{- 1}$

Paso 5.5

Reescribe $\ln (| x |) = - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = | x |$

Paso 5.6

Resuelve $x$

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Paso 5.6.1

Reescribe la ecuación como $| x | = e^{- 1}$ .

$| x | = e^{- 1}$

Paso 5.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$| x | = \frac{1}{e}$

Paso 5.6.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{1}{e}$

Paso 5.6.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{1}{e}$

Paso 5.6.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{1}{e}$

Paso 5.6.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el argumento en $\ln (| x |)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| x | \leq 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Escribe $| x | \leq 0$ como una función definida por partes.

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Paso 6.2.1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 6.2.1.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq 0$

Paso 6.2.1.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 6.2.1.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq 0$

Paso 6.2.1.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Paso 6.2.2

Obtén la intersección de $x \leq 0$ y $x \geq 0$ .

$x = 0$

Paso 6.2.3

Resuelve $- x \leq 0$ cuando $x < 0$ .

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Paso 6.2.3.1

Divide cada término en $- x \leq 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.3.1.1

Divide cada término de $- x \leq 0$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$x \geq 0$

Paso 6.2.3.2

Obtén la intersección de $x \geq 0$ y $x < 0$ .

No hay solución

Paso 6.2.4

Obtén la unión de las soluciones.

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{e}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{10}{\frac{1}{e}}$

Paso 9

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$10 e$

Paso 10

$x = \frac{1}{e}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1}{e}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{e}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{e}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{e}) = 10 (\frac{1}{e}) \ln (| \frac{1}{e} |)$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Combina $10$ y $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (| \frac{1}{e} |)$

Paso 11.2.2

$\frac{1}{e}$ es aproximadamente $0.36787944$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Paso 11.2.3

Reescribe $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Paso 11.2.4

Reescribe $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Paso 11.2.5

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Paso 11.2.6

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Paso 11.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Paso 11.2.8

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

Paso 11.2.9

Resta $1$ de $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

Paso 11.2.10

Multiplica $\frac{10}{e} \cdot - 1$ .

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Paso 11.2.10.1

Combina $\frac{10}{e}$ y $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

Paso 11.2.10.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e}$

Paso 11.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{10}{e}$

Paso 11.2.12

La respuesta final es $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{1}{e}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{10}{- \frac{1}{e}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$10 (- e)$

Paso 13.2

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 e$

Paso 14

$x = - \frac{1}{e}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \frac{1}{e}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{1}{e}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{e}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{e}) = 10 (- \frac{1}{e}) \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Multiplica $10 (- \frac{1}{e})$ .

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Paso 15.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - 10 \frac{1}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Paso 15.2.1.2

Combina $- 10$ y $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Paso 15.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Paso 15.2.3

$- \frac{1}{e}$ es aproximadamente $- 0.36787944$ , que es negativo, así es que niega $- \frac{1}{e}$ y elimina el valor absoluto.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Paso 15.2.4

Reescribe $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Paso 15.2.5

Reescribe $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Paso 15.2.6

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Paso 15.2.7

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Paso 15.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Paso 15.2.9

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

Paso 15.2.10

Resta $1$ de $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot - 1$

Paso 15.2.11

Multiplica $- \frac{10}{e} \cdot - 1$ .

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Paso 15.2.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 1 (\frac{10}{e})$

Paso 15.2.11.2

Multiplica $\frac{10}{e}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{10}{e}$

Paso 15.2.12

La respuesta final es $\frac{10}{e}$ .

$y = \frac{10}{e}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = 10 x \ln (| x |)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{10}{e})$ es un mínimo local

$(- \frac{1}{e}, \frac{10}{e})$ es un máximo local

Paso 17