Cálculo Ejemplos

$- x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 10$

Paso 1

Escribe $- x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 10$ como una función.

$f (x) = - x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 10$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$- (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$- (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 2.2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 2.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 6 + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 2.4

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 6 + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 6$ y $0$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 6$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$6 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 3.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 3.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 3.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 3.2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.2.9

Multiplica $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{4}$

Paso 3.2.11

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Paso 3.2.12

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3

Resta $\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$6 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 5.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$- (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 5.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 5.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 5.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 5.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 5.1.2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$- (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 5.1.2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 6 + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 5.1.4

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 6 + 0$

Paso 5.1.5

Simplifica.

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Paso 5.1.5.1

Suma $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 6$ y $0$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 6$

Paso 5.1.5.2

Reordena los términos.

$f' (x) = 6 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Paso 6.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = - 6$

Paso 6.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 6$

Paso 6.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.1.1

Simplifica $- \frac{2}{3} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

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Paso 6.4.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$\frac{- 2}{3} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 6$

Paso 6.4.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ al numerador.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 6$

Paso 6.4.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 6$

Paso 6.4.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 6$

Paso 6.4.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3} (- 3 x^{\frac{1}{2}}) = - \frac{2}{3} \cdot - 6$

Paso 6.4.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1}{3} (3 (- x^{\frac{1}{2}})) = - \frac{2}{3} \cdot - 6$

Paso 6.4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{3} (3 (- x^{\frac{1}{2}})) = - \frac{2}{3} \cdot - 6$

Paso 6.4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- - x^{\frac{1}{2}} = - \frac{2}{3} \cdot - 6$

Paso 6.4.1.1.3

Multiplica.

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Paso 6.4.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{\frac{1}{2}} = - \frac{2}{3} \cdot - 6$

Paso 6.4.1.1.3.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{2}{3} \cdot - 6$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $- \frac{2}{3} \cdot - 6$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{3} \cdot - 6$

Paso 6.4.2.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{3} \cdot (3 (- 2))$

Paso 6.4.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Paso 6.4.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{2}} = - 2 \cdot - 2$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 4$

Paso 6.5

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Paso 6.6

Simplifica el exponente.

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Paso 6.6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.6.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.6.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.6.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Paso 6.6.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.6.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Paso 6.6.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 4^{2}$

Paso 6.6.1.1.2

Simplifica.

$x = 4^{2}$

Paso 6.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.6.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = 16$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$6 - \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

Paso 7.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$6 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}$

Paso 7.2

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 7.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 16$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 16$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{3}{4 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{3}{2^{2} \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.1.2

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$- \frac{3}{2^{2} \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.1.3

Multiplica los exponentes en ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 10.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2^{2} \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Paso 10.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{3}{2^{2} \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Paso 10.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{2^{2} \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Paso 10.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{2^{2} \cdot 2^{2}}$

Paso 10.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{3}{2^{2 + 2}}$

Paso 10.1.5

Suma $2$ y $2$ .

$- \frac{3}{2^{4}}$

Paso 10.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{3}{16}$

Paso 11

$x = 16$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 16$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 16$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $16$ en la expresión.

$f (16) = - {(16)}^{\frac{3}{2}} + 6 (16) + 10$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (16) = - {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (16) + 10$

Paso 12.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16) = - 4^{2 (\frac{3}{2})} + 6 (16) + 10$

Paso 12.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (16) = - 4^{2 (\frac{3}{2})} + 6 (16) + 10$

Paso 12.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (16) = - 4^{3} + 6 (16) + 10$

Paso 12.2.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f (16) = - 1 \cdot 64 + 6 (16) + 10$

Paso 12.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$f (16) = - 64 + 6 (16) + 10$

Paso 12.2.1.6

Multiplica $6$ por $16$ .

$f (16) = - 64 + 96 + 10$

Paso 12.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 12.2.2.1

Suma $- 64$ y $96$ .

$f (16) = 32 + 10$

Paso 12.2.2.2

Suma $32$ y $10$ .

$f (16) = 42$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $42$ .

$y = 42$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = - x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 10$ .

$(16, 42)$ es un máximo local

Paso 14