Cálculo Ejemplos

$\frac{16 x^{2} + 25}{x}$

Paso 1

Escribe $\frac{16 x^{2} + 25}{x}$ como una función.

$f (x) = \frac{16 x^{2} + 25}{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 16 x^{2} + 25$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 25] - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.2

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{x (32 x + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.5

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (32 x + 0) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.6

Suma $32 x$ y $0$ .

$\frac{x (32 x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x^{1}) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{32 x^{1 + 1} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Paso 2.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.2.1.1

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Paso 2.9.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Paso 2.9.2.2

Resta $16 x^{2}$ de $32 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Paso 2.9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.3.1

Reescribe $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Paso 2.9.3.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.9.3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4 x$ y $b = 5$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 4 x + 5$ y $g (x) = 4 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) \frac{d}{d x} (4 x - 5) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 + 0) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) \cdot 4 + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $4 x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 \cdot (4 x + 5) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.7

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.10

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 + 0)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.12

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.12.1

Suma $4$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) \cdot 4) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.12.2

Mueve $4$ a la izquierda de $4 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 \cdot (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 3.4.14

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.4.14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x}{x^{4}}$

Paso 3.4.14.2

Factoriza $x$ de $x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x$ .

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Paso 3.4.14.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x}{x^{4}}$

Paso 3.4.14.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) + x (- 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x^{4}}$

Paso 3.4.14.2.3

Factoriza $x$ de $x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) + x (- 2 (4 x + 5) (4 x - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x^{4}}$

Paso 3.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x) + 4 \cdot 5 + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x) + 4 \cdot 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 x \cdot x) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 (x \cdot x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 x^{2}) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + x \cdot 20 + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.5

Mueve $20$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 \cdot x + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 x \cdot x) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.5.1.7.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 (x \cdot x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 x^{2}) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.8

Multiplica $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.9

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} + x \cdot - 20 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.10

Mueve $- 20$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 \cdot x + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.11

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.5.1.11.1

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x + (- 8 x - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.11.2

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x + (- 8 x - 10) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.12

Expande $(- 8 x - 10) (4 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.6.5.1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x - 5) - 10 (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x - 5)}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.6.5.1.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.5.1.13.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.13.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.5.1.13.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.13.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.13.1.3

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.13.1.4

Multiplica $- 5$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.13.1.5

Multiplica $4$ por $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 40 x - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.13.1.6

Multiplica $- 10$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 40 x + 50}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.13.2

Resta $40 x$ de $40 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 0 + 50}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.1.13.3

Suma $- 32 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.2

Combina los términos opuestos en $16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 50$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.5.2.1

Resta $20 x$ de $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 16 x^{2} + 0 - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.2.2

Suma $16 x^{2} + 16 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 16 x^{2} - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.3

Suma $16 x^{2}$ y $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x^{2} - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.4

Resta $32 x^{2}$ de $32 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{x^{3}}$

Paso 3.6.5.5

Suma $0$ y $50$ .

$f'' (x) = \frac{50}{x^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 25] - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.2

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.4

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{x (32 x + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.5

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (32 x + 0) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.6

Suma $32 x$ y $0$ .

$\frac{x (32 x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x^{1}) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{32 x^{1 + 1} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 5.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Paso 5.1.9

Simplifica.

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Paso 5.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Paso 5.1.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.9.2.1.1

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Paso 5.1.9.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Paso 5.1.9.2.2

Resta $16 x^{2}$ de $32 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Paso 5.1.9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.9.3.1

Reescribe $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Paso 5.1.9.3.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Paso 5.1.9.3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4 x$ y $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$(4 x + 5) (4 x - 5) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Paso 6.3.2

Establece $4 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Establece $4 x + 5$ igual a $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Paso 6.3.2.2

Resuelve $4 x + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.2.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 5$

Paso 6.3.2.2.2

Divide cada término en $4 x = - 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.2.2.1

Divide cada término en $4 x = - 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Paso 6.3.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Paso 6.3.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Paso 6.3.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{4}$

Paso 6.3.3

Establece $4 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.3.1

Establece $4 x - 5$ igual a $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Paso 6.3.3.2

Resuelve $4 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 5$

Paso 6.3.3.2.2

Divide cada término en $4 x = 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Paso 6.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Paso 6.3.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Paso 6.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x + 5) (4 x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

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Paso 7.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 7.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{5}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{50}{{(- \frac{5}{4})}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{{(- 1)}^{3} {(\frac{5}{4})}^{3}}$

Paso 10.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{50}{- {(\frac{5}{4})}^{3}}$

Paso 10.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{- \frac{5^{3}}{4^{3}}}$

Paso 10.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{50}{- \frac{125}{4^{3}}}$

Paso 10.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{50}{- \frac{125}{64}}$

Paso 10.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$50 (- \frac{64}{125})$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{64}{125}$ al numerador.

$50 (\frac{- 64}{125})$

Paso 10.3.2

Factoriza $25$ de $50$ .

$25 (2) \frac{- 64}{125}$

Paso 10.3.3

Factoriza $25$ de $125$ .

$25 \cdot 2 \frac{- 64}{25 \cdot 5}$

Paso 10.3.4

Cancela el factor común.

$25 \cdot 2 \frac{- 64}{25 \cdot 5}$

Paso 10.3.5

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{- 64}{5})$

Paso 10.4

Combina $2$ y $\frac{- 64}{5}$ .

$\frac{2 \cdot - 64}{5}$

Paso 10.5

Simplifica la expresión.

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Paso 10.5.1

Multiplica $2$ por $- 64$ .

$\frac{- 128}{5}$

Paso 10.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{128}{5}$

Paso 11

$x = - \frac{5}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \frac{5}{4}$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{5}{4}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{5}{4}$ en la expresión.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{16 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 25}{- \frac{5}{4}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 25) (- \frac{4}{5})$

Paso 12.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 12.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Paso 12.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 25) (- \frac{4}{5})$

Paso 12.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 25) (- \frac{4}{5})$

Paso 12.2.2.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Paso 12.2.2.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{4^{2}}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Paso 12.2.2.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Paso 12.2.2.6

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.6.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Paso 12.2.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5}{4}) = (25 + 25) (- \frac{4}{5})$

Paso 12.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.3.1

Suma $25$ y $25$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 50 (- \frac{4}{5})$

Paso 12.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{5}$ al numerador.

$f (- \frac{5}{4}) = 50 (\frac{- 4}{5})$

Paso 12.2.3.2.2

Factoriza $5$ de $50$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 5 (10) (\frac{- 4}{5})$

Paso 12.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5}{4}) = 5 \cdot (10 (\frac{- 4}{5}))$

Paso 12.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5}{4}) = 10 \cdot - 4$

Paso 12.2.3.3

Multiplica $10$ por $- 4$ .

$f (- \frac{5}{4}) = - 40$

Paso 12.2.4

La respuesta final es $- 40$ .

$y = - 40$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{50}{{(\frac{5}{4})}^{3}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{\frac{5^{3}}{4^{3}}}$

Paso 14.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{50}{\frac{125}{4^{3}}}$

Paso 14.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{50}{\frac{125}{64}}$

Paso 14.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$50 (\frac{64}{125})$

Paso 14.3

Cancela el factor común de $25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1

Factoriza $25$ de $50$ .

$25 (2) \frac{64}{125}$

Paso 14.3.2

Factoriza $25$ de $125$ .

$25 \cdot 2 \frac{64}{25 \cdot 5}$

Paso 14.3.3

Cancela el factor común.

$25 \cdot 2 \frac{64}{25 \cdot 5}$

Paso 14.3.4

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{64}{5})$

Paso 14.4

Combina $2$ y $\frac{64}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 64}{5}$

Paso 14.5

Multiplica $2$ por $64$ .

$\frac{128}{5}$

Paso 15

$x = \frac{5}{4}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{5}{4}$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{5}{4}) = \frac{16 {(\frac{5}{4})}^{2} + 25}{\frac{5}{4}}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{5}{4}) = (16 {(\frac{5}{4})}^{2} + 25) (\frac{4}{5})$

Paso 16.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{4}$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 25) (\frac{4}{5})$

Paso 16.2.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{4^{2}}) + 25) (\frac{4}{5})$

Paso 16.2.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (\frac{4}{5})$

Paso 16.2.2.4

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (\frac{4}{5})$

Paso 16.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{4}) = (25 + 25) (\frac{4}{5})$

Paso 16.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 16.2.3.1

Suma $25$ y $25$ .

$f (\frac{5}{4}) = 50 (\frac{4}{5})$

Paso 16.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 16.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $50$ .

$f (\frac{5}{4}) = 5 (10) (\frac{4}{5})$

Paso 16.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{4}) = 5 \cdot (10 (\frac{4}{5}))$

Paso 16.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot 4$

Paso 16.2.3.3

Multiplica $10$ por $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 40$

Paso 16.2.4

La respuesta final es $40$ .

$y = 40$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{16 x^{2} + 25}{x}$ .

$(- \frac{5}{4}, - 40)$ es un máximo local

$(\frac{5}{4}, 40)$ es un mínimo local

Paso 18