Cálculo Ejemplos

$\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$

Paso 1

Escribe $\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ como una función.

$f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{3}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{3}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{3}$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 2.5.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Paso 2.5.2.2

Combina $3$ y $\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{3 (x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2})}{x^{6}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (x^{3} e^{x}) + 3 (- 3 e^{x} x^{2})}{x^{6}}$

Paso 2.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{3} e^{x} - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Paso 2.6.2.2

Reordena los factores en $3 x^{3} e^{x} - 9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} e^{x} - 9 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Paso 2.6.3

Reordena los términos.

$\frac{3 e^{x} x^{3} - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Paso 2.6.4

Factoriza $3 e^{x} x^{2}$ de $3 e^{x} x^{3} - 9 e^{x} x^{2}$ .

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Paso 2.6.4.1

Factoriza $3 e^{x} x^{2}$ de $3 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x) - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Paso 2.6.4.2

Factoriza $3 e^{x} x^{2}$ de $- 9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x) + 3 e^{x} x^{2} (- 3)}{x^{6}}$

Paso 2.6.4.3

Factoriza $3 e^{x} x^{2}$ de $3 e^{x} x^{2} (x) + 3 e^{x} x^{2} (- 3)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x - 3)}{x^{6}}$

Paso 2.6.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{6}$ .

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Paso 2.6.5.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 e^{x} x^{2} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Paso 2.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.5.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 2.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 2.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}})$

Paso 3.2

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

Paso 3.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Paso 3.5.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Paso 3.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Paso 3.6

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.7.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) (4 x^{3})}{x^{8}})$

Paso 3.7.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.7.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}})$

Paso 3.7.2.2

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ .

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Paso 3.7.2.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x})$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}})$

Paso 3.7.2.2.2

Factoriza $x^{3}$ de $- 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}})$

Paso 3.7.2.2.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}})$

Paso 3.8

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}})$

Paso 3.8.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}})$

Paso 3.8.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 3 (\frac{x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}})$

Paso 3.9

Combina $3$ y $\frac{x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{5}}$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (x (e^{x} + x e^{x} - 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{5}}$

Paso 3.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{5}}$

Paso 3.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Paso 3.10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (x e^{x}) + 3 (x (x e^{x})) + 3 (x (- 3 e^{x})) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Paso 3.10.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.10.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.10.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 (x \cdot x e^{x}) + 3 (x (- 3 e^{x})) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Paso 3.10.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (x (- 3 e^{x})) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Paso 3.10.5.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 (- 3 x e^{x}) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Paso 3.10.5.1.3

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 9 (x e^{x}) + 3 (- 4 e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Paso 3.10.5.1.4

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} - 12 (e^{x} x) + 3 (- 4 e^{x} \cdot - 3)}{x^{5}}$

Paso 3.10.5.1.5

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} - 12 e^{x} x + 3 (12 e^{x})}{x^{5}}$

Paso 3.10.5.1.6

Multiplica $12$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} - 12 e^{x} x + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Paso 3.10.5.2

Resta $9 x e^{x}$ de $3 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 12 e^{x} x + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Paso 3.10.5.3

Resta $12 e^{x} x$ de $- 6 x e^{x}$ .

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Paso 3.10.5.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x e^{x} - 12 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Paso 3.10.5.3.2

Resta $12 x e^{x}$ de $- 6 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Paso 3.10.6

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{- 18 e^{x} x + 3 e^{x} x^{2} + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Paso 3.10.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.7.1

Factoriza $3 e^{x}$ de $- 18 e^{x} x + 3 e^{x} x^{2} + 36 e^{x}$ .

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Paso 3.10.7.1.1

Factoriza $3 e^{x}$ de $- 18 e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x) + 3 e^{x} x^{2} + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Paso 3.10.7.1.2

Factoriza $3 e^{x}$ de $3 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x) + 3 e^{x} (x^{2}) + 36 e^{x}}{x^{5}}$

Paso 3.10.7.1.3

Factoriza $3 e^{x}$ de $36 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x) + 3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (12)}{x^{5}}$

Paso 3.10.7.1.4

Factoriza $3 e^{x}$ de $3 e^{x} (- 6 x) + 3 e^{x} (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x + x^{2}) + 3 e^{x} (12)}{x^{5}}$

Paso 3.10.7.1.5

Factoriza $3 e^{x}$ de $3 e^{x} (- 6 x + x^{2}) + 3 e^{x} (12)$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (- 6 x + x^{2} + 12)}{x^{5}}$

Paso 3.10.7.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (x^{2} - 6 x + 12)}{x^{5}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{3}}]$

Paso 5.1.2

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 5.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 5.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 5.1.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 5.1.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 5.1.5.2

Combina fracciones.

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Paso 5.1.5.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 \frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Paso 5.1.5.2.2

Combina $3$ y $\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{3 (x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2})}{x^{6}}$

Paso 5.1.6

Simplifica.

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Paso 5.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (x^{3} e^{x}) + 3 (- 3 e^{x} x^{2})}{x^{6}}$

Paso 5.1.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.6.2.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{3} e^{x} - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Paso 5.1.6.2.2

Reordena los factores en $3 x^{3} e^{x} - 9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} e^{x} - 9 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Paso 5.1.6.3

Reordena los términos.

$\frac{3 e^{x} x^{3} - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Paso 5.1.6.4

Factoriza $3 e^{x} x^{2}$ de $3 e^{x} x^{3} - 9 e^{x} x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.4.1

Factoriza $3 e^{x} x^{2}$ de $3 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x) - 9 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Paso 5.1.6.4.2

Factoriza $3 e^{x} x^{2}$ de $- 9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x) + 3 e^{x} x^{2} (- 3)}{x^{6}}$

Paso 5.1.6.4.3

Factoriza $3 e^{x} x^{2}$ de $3 e^{x} x^{2} (x) + 3 e^{x} x^{2} (- 3)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2} (x - 3)}{x^{6}}$

Paso 5.1.6.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.5.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 e^{x} x^{2} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Paso 5.1.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.6.5.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 5.1.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (3 e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 5.1.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 e^{x} (x - 3) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 6.3.2

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 6.3.2.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.2.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 6.3.2.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 6.3.2.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 6.3.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 6.3.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 e^{x} (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 3$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{3 e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{4} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

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Paso 7.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Paso 7.2.2

Simplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 7.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 3$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 3$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{3 e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12)}{{(3)}^{5}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $3$ y ${(3)}^{5}$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $3$ de $3 e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12)$ .

$\frac{3 (e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12))}{{(3)}^{5}}$

Paso 10.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1.2.1

Factoriza $3$ de ${(3)}^{5}$ .

$\frac{3 (e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12))}{3 \cdot 3^{4}}$

Paso 10.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12))}{3 \cdot 3^{4}}$

Paso 10.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{3} ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 12)}{3^{4}}$

Paso 10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{e^{3} (9 - 6 \cdot 3 + 12)}{3^{4}}$

Paso 10.2.2

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$\frac{e^{3} (9 - 18 + 12)}{3^{4}}$

Paso 10.2.3

Resta $18$ de $9$ .

$\frac{e^{3} (- 9 + 12)}{3^{4}}$

Paso 10.2.4

Suma $- 9$ y $12$ .

$\frac{e^{3} \cdot 3}{3^{4}}$

Paso 10.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 10.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{e^{3} \cdot 3}{81}$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común de $3$ y $81$ .

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Paso 10.3.2.1

Factoriza $3$ de $e^{3} \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot e^{3}}{81}$

Paso 10.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$\frac{3 \cdot e^{3}}{3 \cdot 27}$

Paso 10.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot e^{3}}{3 \cdot 27}$

Paso 10.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{3}}{27}$

Paso 11

$x = 3$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 3$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 3$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{3 e^{3}}{{(3)}^{3}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Cancela el factor común de $3$ y ${(3)}^{3}$ .

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Paso 12.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 e^{3}$ .

$f (3) = \frac{3 (e^{3})}{{(3)}^{3}}$

Paso 12.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.1.2.1

Factoriza $3$ de ${(3)}^{3}$ .

$f (3) = \frac{3 (e^{3})}{3 \cdot 3^{2}}$

Paso 12.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (3) = \frac{3 e^{3}}{3 \cdot 3^{2}}$

Paso 12.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (3) = \frac{e^{3}}{3^{2}}$

Paso 12.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = \frac{e^{3}}{9}$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $\frac{e^{3}}{9}$ .

$y = \frac{e^{3}}{9}$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ .

$(3, \frac{e^{3}}{9})$ es un mínimo local

Paso 14