Cálculo Ejemplos

$(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$

Paso 1

Escribe $(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$ como una función.

$f (x) = (- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{(\frac{8}{3})} + 4 {(x - 2)}^{(\frac{2}{3})}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

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Paso 2.2.1

Combina ${(x - 2)}^{\frac{8}{3}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.2

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{8}{3}}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{8}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {u_{1}}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.10.2

Resta $3$ de $8$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.11

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.12

Combina $\frac{8}{3}$ y ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.13

Multiplica $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.14

Multiplica $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.15

Multiplica $3$ por $4$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.16

Factoriza $4$ de $8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.17

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.17.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 (3)} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.17.2

Cancela el factor común.

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.17.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Paso 2.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Paso 2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Paso 2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Paso 2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Paso 2.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Paso 2.3.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Paso 2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Paso 2.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Paso 2.3.13

Multiplica $\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 2.3.14

Mueve ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.3.15

Combina $4$ y $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.3.16

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Combina los términos.

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Paso 2.4.1.1

Para escribir $- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ por $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.1.4

Multiplica ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1.4.1

Mueve ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.1.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.1.4.4

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{6}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.1.4.5

Divide $6$ por $3$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 {(x - 2)}^{2} + 8$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.2.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 2^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.2.3

Reordena $- {(x - 2)}^{2}$ y $2^{2}$ .

$\frac{2 (2^{2} - {(x - 2)}^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x - 2$ .

$\frac{2 ((2 + x - 2) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.2.5

Simplifica.

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Paso 2.4.2.5.1

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{2 ((x + 0) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{2 (x (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x (2 - x - - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.2.5.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 (x (2 - x + 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.2.5.5

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{2 (x (- x + 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{2 x (- x + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.4

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.6

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x (x - 4)$ y $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x (x - 4)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.5.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + (x - 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + (x - 4) \cdot 1) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.5.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.5.6.1

Multiplica $x - 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (x + x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.5.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.10.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11

Combina fracciones.

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Paso 3.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.3

Mueve ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - x (x - 4) (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.11.4

Combina $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.14

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot ((x - 4) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.15

Combina fracciones.

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Paso 3.15.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.15.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.15.3

Multiplica $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4)) \cdot 2}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}$

Paso 3.15.4

Reordena.

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Paso 3.15.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}$

Paso 3.15.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16

Simplifica.

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Paso 3.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.16.2.1

Factoriza $2$ de $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4))$ .

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Paso 3.16.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.1.2

Factoriza $2$ de $2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4)) + 2 (- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x - 4))$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x - 4) - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 4 - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 4 - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.4

Mueve $- 4$ a la izquierda de ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.6

Multiplica $- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} x$ .

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Paso 3.16.2.6.1

Combina $x$ y $\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x \cdot x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.6.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

Paso 3.16.2.6.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

Paso 3.16.2.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{1 + 1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.7

Multiplica $- \frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4$ .

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Paso 3.16.2.7.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 4 (\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.7.2

Combina $4$ y $\frac{x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.8

Resta $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ de $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.16.2.8.1

Mueve ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.8.2

Para escribir $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.8.3

Combina $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.9

Para escribir $- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.10

Combina $- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13

Simplifica cada término.

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Paso 3.16.2.13.1

Multiplica ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.16.2.13.1.1

Mueve ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.1.5

Divide $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x (x - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.2

Simplifica $2 x {(x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x (x - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.16.2.13.4.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(2 x^{2} - 4 x) \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{2 x^{2} \cdot 3 - 4 x \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 4 x \cdot 3 - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.8

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.10

Multiplica ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.16.2.13.10.1

Mueve ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.10.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.10.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.10.4

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.10.5

Divide $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 (x - 2)) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.11

Simplifica $- 4 \cdot 3 {(x - 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 4 \cdot (3 (x - 2)) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.12

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 (x - 2) + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.13

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 x - 12 \cdot - 2 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.13.14

Multiplica $- 12$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 x^{2} - 12 x - x^{2} - 12 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.14

Resta $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 12 x - 12 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.15

Resta $12 x$ de $- 12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 24 x + 24 + 4 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.2.16

Suma $- 24 x$ y $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{5 x^{2} - 20 x + 24}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.3

Combina los términos.

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Paso 3.16.3.1

Combina $2$ y $\frac{5 x^{2} - 20 x + 24}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.3.2

Reescribe $\frac{\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ como un producto.

$f'' (x) = - (\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})$

Paso 3.16.3.3

Multiplica $\frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 3.16.3.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.3.5

Multiplica ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.16.3.5.1

Mueve ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 3.16.3.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Paso 3.16.3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Paso 3.16.3.5.4

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (5 x^{2} - 20 x + 24)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

$\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [(- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

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Paso 5.1.2.1

Combina ${(x - 2)}^{\frac{8}{3}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.2

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}}{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{8}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{8}{3}}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 5.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{8}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {u_{1}}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 2$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{8 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.10.2

Resta $3$ de $8$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.11

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.12

Combina $\frac{8}{3}$ y ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.13

Multiplica $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.14

Multiplica $\frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.15

Multiplica $3$ por $4$ .

$- \frac{8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.16

Factoriza $4$ de $8 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{12} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.17

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.17.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 (3)} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.17.2

Cancela el factor común.

$- \frac{4 (2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.2.17.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 5.1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 5.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 5.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Paso 5.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Paso 5.1.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Paso 5.1.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Paso 5.1.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Paso 5.1.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Paso 5.1.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Paso 5.1.3.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Paso 5.1.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Paso 5.1.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Paso 5.1.3.12

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Paso 5.1.3.13

Multiplica $\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 5.1.3.14

Mueve ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 4 \frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.3.15

Combina $4$ y $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.3.16

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.1.1

Para escribir $- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.1.2

Multiplica $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ por $\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.1.4

Multiplica ${(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.1.4.1

Mueve ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.1.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 5}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.1.4.4

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{\frac{6}{3}} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.1.4.5

Divide $6$ por $3$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2} + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 {(x - 2)}^{2} + 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 8}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.2.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- {(x - 2)}^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 (- {(x - 2)}^{2} + 2^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.2.3

Reordena $- {(x - 2)}^{2}$ y $2^{2}$ .

$\frac{2 (2^{2} - {(x - 2)}^{2})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x - 2$ .

$\frac{2 ((2 + x - 2) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.2.5.1

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{2 ((x + 0) (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{2 (x (2 - (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x (2 - x - - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.2.5.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 (x (2 - x + 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.2.5.5

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{2 (x (- x + 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{2 x (- x + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.4

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 x (- (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.6

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x (x - 4) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 6.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.3.3

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 6.3.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{1}}}$

Paso 7.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{x - 2}}$

Paso 7.2

Establece el denominador en $\frac{(2 x) (x - 4)}{3 \sqrt[3]{x - 2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x - 2} = 0$

Paso 7.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x - 2})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1

Simplifica ${(3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 {(x - 2)}^{1} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 (x - 2) = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$27 x + 27 \cdot - 2 = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.6

Multiplica $27$ por $- 2$ .

$27 x - 54 = 0^{3}$

Paso 7.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x - 54 = 0$

Paso 7.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1

Suma $54$ a ambos lados de la ecuación.

$27 x = 54$

Paso 7.3.3.2

Divide cada término en $27 x = 54$ por $27$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.1

Divide cada término en $27 x = 54$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{54}{27}$

Paso 7.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x}{27} = \frac{54}{27}$

Paso 7.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{54}{27}$

Paso 7.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.3.1

Divide $54$ por $27$ .

$x = 2$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, 4, 2$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 (5 {(0)}^{2} - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {((0) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 (5 \cdot 0 - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$- \frac{2 (0 - 20 \cdot 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.3

Multiplica $- 20$ por $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.4

Suma $0$ y $0$ .

$- \frac{2 (0 + 24)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.5

Suma $0$ y $24$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(0 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.2

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Resta $2$ de $0$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.2.2

Multiplica $2$ por $24$ .

$- \frac{48}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.2.3

Factoriza $3$ de $48$ .

$- \frac{3 (16)}{9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.3

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Factoriza $3$ de $9 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 (16)}{3 (3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}})}$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \cdot 16}{3 (3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}})}$

Paso 10.3.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 11

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = (- \frac{1}{4}) {((0) - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Resta $2$ de $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 12.2.1.2

Combina ${(- 2)}^{\frac{8}{3}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {((0) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 12.2.1.3

Resta $2$ de $0$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 12.2.2

Para escribir $4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 12.2.3

Combina $4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}}}{4} + \frac{4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{4}$

Paso 12.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (0) = \frac{- {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(- 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{4}$

Paso 12.2.4.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f (0) = \frac{- {(- 2)}^{\frac{8}{3}} + 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Paso 12.2.5

Factoriza $- 1$ de $- {(- 2)}^{\frac{8}{3}}$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) + 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Paso 12.2.6

Factoriza $- 1$ de $16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) - (- 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

Paso 12.2.7

Factoriza $- 1$ de $- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}}) - (- 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ .

$f (0) = \frac{- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

Paso 12.2.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.8.1

Reescribe $- ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ como $- 1 ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})$ .

$f (0) = \frac{- 1 ({(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}})}{4}$

Paso 12.2.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (0) = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Paso 12.2.9

La respuesta final es $- \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$ .

$y = - \frac{{(- 2)}^{\frac{8}{3}} - 16 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{4}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 (5 {(4)}^{2} - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {((4) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 (5 \cdot 16 - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.1.2

Multiplica $5$ por $16$ .

$- \frac{2 (80 - 20 \cdot 4 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.1.3

Multiplica $- 20$ por $4$ .

$- \frac{2 (80 - 80 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.1.4

Resta $80$ de $80$ .

$- \frac{2 (0 + 24)}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.1.5

Suma $0$ y $24$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 {(4 - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.2

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Resta $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 24}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.2.2

Multiplica $2$ por $24$ .

$- \frac{48}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.2.3

Factoriza $3$ de $48$ .

$- \frac{3 (16)}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.3

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1

Factoriza $3$ de $9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 (16)}{3 (3 \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Paso 14.3.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \cdot 16}{3 (3 \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Paso 14.3.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{16}{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15

$x = 4$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 4$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = (- \frac{1}{4}) {((4) - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.1

Resta $2$ de $4$ .

$f (4) = - \frac{1}{4} \cdot 2^{\frac{8}{3}} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 16.2.1.2

Combina $2^{\frac{8}{3}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 16.2.1.3

Resta $2$ de $4$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 16.2.1.4

Multiplica $4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 16.2.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2 + \frac{2}{3}}$

Paso 16.2.1.4.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}$

Paso 16.2.1.4.4

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}$

Paso 16.2.1.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}$

Paso 16.2.1.4.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.4.6.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{6 + 2}{3}}$

Paso 16.2.1.4.6.2

Suma $6$ y $2$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{8}{3}}$

Paso 16.2.2

Para escribir $2^{\frac{8}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 16.2.3

Combina $2^{\frac{8}{3}}$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{8}{3}} \cdot 4}{4}$

Paso 16.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot 4}{4}$

Paso 16.2.5

Multiplica $2^{\frac{8}{3}} \cdot 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3}} \cdot 2^{2}}{4}$

Paso 16.2.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + 2}}{4}$

Paso 16.2.5.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{4}$

Paso 16.2.5.4

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{4}$

Paso 16.2.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8 + 2 \cdot 3}{3}}}{4}$

Paso 16.2.5.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.5.6.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{8 + 6}{3}}}{4}$

Paso 16.2.5.6.2

Suma $8$ y $6$ .

$f (4) = \frac{- 2^{\frac{8}{3}} + 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Paso 16.2.6

Factoriza $- 1$ de $- 2^{\frac{8}{3}}$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}}) + 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Paso 16.2.7

Factoriza $- 1$ de $2^{\frac{14}{3}}$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}}) - 1 (- 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

Paso 16.2.8

Factoriza $- 1$ de $- (2^{\frac{8}{3}}) - 1 (- 2^{\frac{14}{3}})$ .

$f (4) = \frac{- (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

Paso 16.2.9

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.9.1

Reescribe $- (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})$ como $- 1 (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})$ .

$f (4) = \frac{- 1 (2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}})}{4}$

Paso 16.2.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (4) = - \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Paso 16.2.10

La respuesta final es $- \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$ .

$y = - \frac{2^{\frac{8}{3}} - 2^{\frac{14}{3}}}{4}$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 {((2) - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 18.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.1

Resta $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.1.2

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 18.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 18.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 18.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0^{4}}$

Paso 18.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{9 \cdot 0}$

Paso 18.3.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{0}$

Paso 18.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{2 (5 {(2)}^{2} - 20 \cdot 2 + 24)}{0}$

Paso 18.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 19

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 19.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 19.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 19.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - \frac{(2 (- 2)) ((- 2) - 4)}{3 {((- 2) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.2.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (- 2 - 4)}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.2.2.1.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (- 2 - 4)}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.2.2.1.3

Resta $4$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 \cdot - 6}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.2.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$f' (- 2) = - \frac{24}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.2.2.2

Factoriza $3$ de $24$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.2.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 19.2.2.3.1

Factoriza $3$ de $3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 ({(- 4)}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 19.2.2.3.2

Cancela el factor común.

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot 8}{3 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.2.2.3.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 2) = - \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.2.2.4

La respuesta final es $- \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.3

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(0, 2)$ en la primera derivada $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 19.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{(2 (1)) ((1) - 4)}{3 {((1) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(1 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 19.3.2.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.3.2.2.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.3.2.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 19.3.2.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 19.3.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 19.3.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 (- 1)}$

Paso 19.3.2.2.5

Evalúa el exponente.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 4)}{3 \cdot - 1}$

Paso 19.3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 19.3.2.3.1

Resta $4$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 3}{3 \cdot - 1}$

Paso 19.3.2.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 3}{- 3}$

Paso 19.3.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f' (1) = - \frac{- 6}{- 3}$

Paso 19.3.2.3.4

Divide $- 6$ por $- 3$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Paso 19.3.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (1) = - 2$

Paso 19.3.2.4

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 19.4

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(2, 4)$ en la primera derivada $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 19.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = - \frac{(2 (3)) ((3) - 4)}{3 {((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.4.2.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 19.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (3) = - \frac{2 \cdot (3 ((3) - 4))}{3 {((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f' (3) = - \frac{(2) ((3) - 4)}{{((3) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.4.2.1.3

Resta $4$ de $3$ .

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(3 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.4.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 19.4.2.2.1

Resta $2$ de $3$ .

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.4.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (3) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Paso 19.4.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 19.4.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (3) = - \frac{- 2}{1}$

Paso 19.4.2.3.2

Divide $- 2$ por $1$ .

$f' (3) = 2$

Paso 19.4.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (3) = 2$

Paso 19.4.2.4

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 19.5

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(4, \infty)$ en la primera derivada $- \frac{(2 x) (x - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = - \frac{(2 (6)) ((6) - 4)}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.5.2.1

Factoriza $3$ de $(2 (6)) ((6) - 4)$ .

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 19.5.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 ({((6) - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 19.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (6) = - \frac{3 (2 \cdot ((2) ((6) - 4)))}{3 {((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (6) = - \frac{2 \cdot ((2) ((6) - 4))}{{((6) - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.5.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (6) = - \frac{4 (6 - 4)}{{(6 - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.5.2.4

Resta $2$ de $6$ .

$f' (6) = - \frac{4 (6 - 4)}{4^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.5.2.5

Resta $4$ de $6$ .

$f' (6) = - \frac{4 \cdot 2}{4^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.5.2.6

Multiplica $4$ por $2$ .

$f' (6) = - \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.5.2.7

La respuesta final es $- \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{4^{\frac{1}{3}}}$

Paso 19.6

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 19.7

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 2$ , $x = 2$ es un mínimo local.

$x = 2$ es un mínimo local

Paso 19.8

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 4$ , $x = 4$ es un máximo local.

$x = 4$ es un máximo local

Paso 19.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = (- \frac{1}{4}) {(x - 2)}^{\frac{8}{3}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = 0$ es un máximo local

$x = 2$ es un mínimo local

$x = 4$ es un máximo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = 2$ es un mínimo local

$x = 4$ es un máximo local

Paso 20