Cálculo Ejemplos

$y = 1 + e^{x}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 1 + e^{y}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $1 + e^{y} = x$ .

$1 + e^{y} = x$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{y} = x - 1$

Paso 2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (x - 1)$

Paso 2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (x - 1)$

Paso 2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

Paso 2.4.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (x - 1)$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$ es la inversa de $f (x) = 1 + e^{x}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (1 + e^{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = \ln ((1 + e^{x}) - 1)$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $(1 + e^{x}) - 1$ .

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Paso 4.2.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = \ln (0 + e^{x})$

Paso 4.2.3.2

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = \ln (e^{x})$

Paso 4.2.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = x \ln (e)$

Paso 4.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = x \cdot 1$

Paso 4.2.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + e^{x}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\ln (x - 1))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (x - 1)) = 1 + e^{\ln (x - 1)}$

Paso 4.3.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (x - 1)) = 1 + x - 1$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $1 + x - 1$ .

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Paso 4.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\ln (x - 1)) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\ln (x - 1)) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$ es la inversa de $f (x) = 1 + e^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x - 1)$