Cálculo Ejemplos

$\sin (x) - \cos (x)$

Paso 1

Escribe $\sin (x) - \cos (x)$ como una función.

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Paso 2.3.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Paso 5

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 8

Separa las fracciones.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 9

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 10

Divide $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 11

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Paso 12

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = - 1$

Paso 13

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Paso 14

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 15

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 16

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 16.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 16.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 17

La solución a la ecuación $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 19

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 19.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 19.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 19.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 19.1.4

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 19.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 19.1.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 19.1.5

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Paso 19.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Paso 19.1.7

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 19.2

Simplifica los términos.

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Paso 19.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Paso 19.2.2

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 19.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 19.2.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 20

$x = - \frac{π}{4}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \frac{π}{4}$ es un mínimo local

Paso 21

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{π}{4}$ .

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Paso 21.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{π}{4}$ en la expresión.

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 21.2

Simplifica el resultado.

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Paso 21.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 21.2.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 21.2.1.2

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 21.2.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 21.2.1.4

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Paso 21.2.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 21.2.1.6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 21.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 21.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 21.2.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 21.2.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 21.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Paso 21.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 21.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 21.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 21.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Paso 21.2.2.3.2.4

Divide $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Paso 21.2.3

La respuesta final es $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Paso 22

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 23

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 23.1

Simplifica cada término.

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Paso 23.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 23.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 23.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 23.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 23.2

Simplifica los términos.

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Paso 23.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 23.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 23.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 23.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Paso 23.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 23.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 23.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 23.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Paso 23.2.3.2.4

Divide $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{2}$

Paso 24

$x = \frac{3 π}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{3 π}{4}$ es un máximo local

Paso 25

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 25.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 25.2

Simplifica el resultado.

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Paso 25.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 25.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 25.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 25.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Paso 25.2.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 25.2.1.5

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 25.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 25.2.1.5.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 25.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 25.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Paso 25.2.2.2

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 25.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 25.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 25.2.2.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Paso 25.2.3

La respuesta final es $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Paso 26

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ es un mínimo local

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ es un máximo local

Paso 27