Cálculo Ejemplos

$4 x - \frac{4000}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = 4 x - \frac{4000}{x^{2}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 4000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4000}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 - 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 - 4000 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$4 - 4000 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 - 4000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$4 - 4000 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 - 4000 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 2.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 - 4000 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 2.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 - 4000 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 2.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$4 - 4000 (- 2 x^{- 3})$

Paso 2.3.10

Multiplica $- 2$ por $- 4000$ .

$4 + 8000 x^{- 3}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 + 8000 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.4.2

Combina $8000$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 + \frac{8000}{x^{3}}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$\frac{8000}{x^{3}} + 4$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{8000}{x^{3}} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{8000}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{8000}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{8000}{x^{3}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $8000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8000}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $8000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 8000 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 8000 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = 8000 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 8000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = 8000 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 8000 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 3.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8000 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 8000 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 8000 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8000 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 8000 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 8000 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.8

Multiplica $- 3$ por $8000$ .

$f'' (x) = - 24000 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 24000 x^{- 4} + 0$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 24000 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $- 24000$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 24000}{x^{4}} + 0$

Paso 3.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{24000}{x^{4}} + 0$

Paso 3.4.2.3

Suma $- \frac{24000}{x^{4}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{24000}{x^{4}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{8000}{x^{3}} + 4 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 5.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Paso 5.1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 4000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4000}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 - 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 5.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 - 4000 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 5.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 5.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$4 - 4000 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 - 4000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 5.1.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 5.1.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 5.1.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$4 - 4000 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 5.1.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 - 4000 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 5.1.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 - 4000 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 5.1.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 - 4000 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 5.1.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$4 - 4000 (- 2 x^{- 3})$

Paso 5.1.3.10

Multiplica $- 2$ por $- 4000$ .

$4 + 8000 x^{- 3}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 + 8000 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 5.1.4.2

Combina $8000$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 + \frac{8000}{x^{3}}$

Paso 5.1.4.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{8000}{x^{3}} + 4$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{8000}{x^{3}} + 4$ .

$\frac{8000}{x^{3}} + 4$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{8000}{x^{3}} + 4 = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{8000}{x^{3}} + 4 = 0$

Paso 6.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{8000}{x^{3}} = - 4$

Paso 6.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, 1$

Paso 6.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{3}$

Paso 6.4

Multiplica cada término en $\frac{8000}{x^{3}} = - 4$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.4.1

Multiplica cada término en $\frac{8000}{x^{3}} = - 4$ por $x^{3}$ .

$\frac{8000}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8000}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Paso 6.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$8000 = - 4 x^{3}$

Paso 6.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.5.1

Reescribe la ecuación como $- 4 x^{3} = 8000$ .

$- 4 x^{3} = 8000$

Paso 6.5.2

Resta $8000$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x^{3} - 8000 = 0$

Paso 6.5.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 x^{3} - 8000$ .

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Paso 6.5.3.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} - 8000 = 0$

Paso 6.5.3.2

Factoriza $- 4$ de $- 8000$ .

$- 4 x^{3} - 4 \cdot 2000 = 0$

Paso 6.5.3.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 (x^{3}) - 4 (2000)$ .

$- 4 (x^{3} + 2000) = 0$

Paso 6.5.4

Divide cada término en $- 4 (x^{3} + 2000) = 0$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 6.5.4.1

Divide cada término en $- 4 (x^{3} + 2000) = 0$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 (x^{3} + 2000)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Paso 6.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 6.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 (x^{3} + 2000)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Paso 6.5.4.2.1.2

Divide $x^{3} + 2000$ por $1$ .

$x^{3} + 2000 = \frac{0}{- 4}$

Paso 6.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.4.3.1

Divide $0$ por $- 4$ .

$x^{3} + 2000 = 0$

Paso 6.5.5

Resta $2000$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = - 2000$

Paso 6.5.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{- 2000}$

Paso 6.5.7

Simplifica $\sqrt[3]{- 2000}$ .

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Paso 6.5.7.1

Reescribe $- 2000$ como ${(- 10)}^{3} \cdot 2$ .

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Paso 6.5.7.1.1

Factoriza $- 1000$ de $- 2000$ .

$x = \sqrt[3]{- 1000 (2)}$

Paso 6.5.7.1.2

Reescribe $- 1000$ como ${(- 10)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 10)}^{3} \cdot 2}$

Paso 6.5.7.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = - 10 \sqrt[3]{2}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{8000}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

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Paso 7.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 7.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 10 \sqrt[3]{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = - 10 \sqrt[3]{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{24000}{{(- 10 \sqrt[3]{2})}^{4}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.1

Aplica la regla del producto a $- 10 \sqrt[3]{2}$ .

$- \frac{24000}{{(- 10)}^{4} {\sqrt[3]{2}}^{4}}$

Paso 10.1.2

Eleva $- 10$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{24000}{10000 {\sqrt[3]{2}}^{4}}$

Paso 10.1.3

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{4}$ como $\sqrt[3]{2^{4}}$ .

$- \frac{24000}{10000 \sqrt[3]{2^{4}}}$

Paso 10.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{24000}{10000 \sqrt[3]{16}}$

Paso 10.1.5

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 10.1.5.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$- \frac{24000}{10000 \sqrt[3]{8 (2)}}$

Paso 10.1.5.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$- \frac{24000}{10000 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}$

Paso 10.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{24000}{10000 \cdot 2 \sqrt[3]{2}}$

Paso 10.1.7

Multiplica $10000$ por $2$ .

$- \frac{24000}{20000 \sqrt[3]{2}}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $24000$ y $20000$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $4000$ de $24000$ .

$- \frac{4000 (6)}{20000 \sqrt[3]{2}}$

Paso 10.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.2.1

Factoriza $4000$ de $20000 \sqrt[3]{2}$ .

$- \frac{4000 (6)}{4000 (5 \sqrt[3]{2})}$

Paso 10.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{4000 \cdot 6}{4000 (5 \sqrt[3]{2})}$

Paso 10.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{6}{5 \sqrt[3]{2}}$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{6}{5 \sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$- (\frac{6}{5 \sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Paso 10.4

Simplifica los términos.

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Paso 10.4.1

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 10.4.1.1

Multiplica $\frac{6}{5 \sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 10.4.1.2

Mueve $\sqrt[3]{2}$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 (\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2})}$

Paso 10.4.1.3

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 ({\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2})}$

Paso 10.4.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 10.4.1.5

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 10.4.1.6

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 10.4.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 10.4.1.6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 10.4.1.6.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 10.4.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2^{1}}$

Paso 10.4.1.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Paso 10.4.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.1

Factoriza $2$ de $6 {\sqrt[3]{2}}^{2}$ .

$- \frac{2 (3 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{5 \cdot 2}$

Paso 10.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $5 \cdot 2$ .

$- \frac{2 (3 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 \cdot 5}$

Paso 10.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 (3 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 \cdot 5}$

Paso 10.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5}$

Paso 10.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{2^{2}}}{5}$

Paso 10.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{5}$

Paso 11

$x = - 10 \sqrt[3]{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 10 \sqrt[3]{2}$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = - 10 \sqrt[3]{2}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 10 \sqrt[3]{2}$ en la expresión.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = 4 (- 10 \sqrt[3]{2}) - \frac{4000}{{(- 10 \sqrt[3]{2})}^{2}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 10$ por $4$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{{(- 10 \sqrt[3]{2})}^{2}}$

Paso 12.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- 10 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{{(- 10)}^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 12.2.1.2.2

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{100 {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 12.2.1.2.3

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{100 \sqrt[3]{2^{2}}}$

Paso 12.2.1.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{100 \sqrt[3]{4}}$

Paso 12.2.1.3

Cancela el factor común de $4000$ y $100$ .

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Paso 12.2.1.3.1

Factoriza $100$ de $4000$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{100 \cdot 40}{100 \sqrt[3]{4}}$

Paso 12.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.1.3.2.1

Factoriza $100$ de $100 \sqrt[3]{4}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{100 \cdot 40}{100 (\sqrt[3]{4})}$

Paso 12.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{100 \cdot 40}{100 \sqrt[3]{4}}$

Paso 12.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 12.2.1.4

Multiplica $\frac{40}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (\frac{40}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Paso 12.2.1.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1.5.1

Multiplica $\frac{40}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 12.2.1.5.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 12.2.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 12.2.1.5.4

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 12.2.1.5.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 12.2.1.5.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 12.2.1.5.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 12.2.1.5.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 12.2.1.5.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.1.5.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 12.2.1.5.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 12.2.1.5.5.5

Evalúa el exponente.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 12.2.1.6

Cancela el factor común de $40$ y $4$ .

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Paso 12.2.1.6.1

Factoriza $4$ de $40 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4 (10 {\sqrt[3]{4}}^{2})}{4}$

Paso 12.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.1.6.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4 (10 {\sqrt[3]{4}}^{2})}{4 (1)}$

Paso 12.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4 (10 {\sqrt[3]{4}}^{2})}{4 \cdot 1}$

Paso 12.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{10 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{1}$

Paso 12.2.1.6.2.4

Divide $10 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ por $1$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 {\sqrt[3]{4}}^{2})$

Paso 12.2.1.7

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 \sqrt[3]{4^{2}})$

Paso 12.2.1.8

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 \sqrt[3]{16})$

Paso 12.2.1.9

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 12.2.1.9.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 \sqrt[3]{8 (2)})$

Paso 12.2.1.9.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2})$

Paso 12.2.1.10

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 (2 \sqrt[3]{2}))$

Paso 12.2.1.11

Multiplica $2$ por $10$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (20 \sqrt[3]{2})$

Paso 12.2.1.12

Multiplica $20$ por $- 1$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - 20 \sqrt[3]{2}$

Paso 12.2.2

Resta $20 \sqrt[3]{2}$ de $- 40 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 60 \sqrt[3]{2}$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $- 60 \sqrt[3]{2}$ .

$y = - 60 \sqrt[3]{2}$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = 4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ .

$(- 10 \sqrt[3]{2}, - 60 \sqrt[3]{2})$ es un máximo local

Paso 14