Cálculo Ejemplos

$\frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$

Paso 1

Escribe $\frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$ como una función.

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x^{2} + 5 x + 10$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $x^{2} + 5 x + 10$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5 x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.2.7

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.2.9

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.2.10

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + 0)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.2.11

Suma $2 x + 5$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x - - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x + 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2

Expande $(- x + 1) (2 x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.1.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.1.5

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.1.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.2

Suma $- 5 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x + 10 - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.3

Resta $3 x$ de $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 10 + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.2.4

Suma $10$ y $5$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2

Reescribe $2$ como $- 3$ más $5$

$\frac{- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 3 x + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 3) - 5 (- x - 3)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 3$ .

$\frac{(- x - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.5

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (3)) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.7

Reescribe $- (x + 3)$ como $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 5)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{({(x^{2} + 5 x + 10)}^{2})}^{2}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 5 x + 10)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 5)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2 \cdot 2}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 5)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 3$ y $g (x) = x - 5$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) \frac{d}{d x} (x - 5) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (3))) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) (1 + 0)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.5.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) \cdot 1) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.8.2

Multiplica $x - 5$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + x - 5) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x + 3 - 5) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.8.4

Resta $5$ de $3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 5 x + 10$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 5 x + 10$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 5 x + 10$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) (2 (x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.7.2

Factoriza $x^{2} + 5 x + 10$ de ${(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.1

Factoriza $x^{2} + 5 x + 10$ de ${(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)) - 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.7.2.2

Factoriza $x^{2} + 5 x + 10$ de $- 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)) + (x^{2} + 5 x + 10) (- 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.7.2.3

Factoriza $x^{2} + 5 x + 10$ de $(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)) + (x^{2} + 5 x + 10) (- 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.8

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Factoriza $x^{2} + 5 x + 10$ de ${(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)))}{(x^{2} + 5 x + 10) {(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.8.2

Cancela el factor común.

Paso 3.8.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5 x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.13

Multiplica $5$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.14

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 + 0)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.15

Suma $2 x + 5$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.16

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot 0$

Paso 3.17

Simplifica la expresión.

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Paso 3.17.1

Multiplica $\frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + 0$

Paso 3.17.2

Suma $- \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18

Simplifica.

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Paso 3.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.18.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.18.2.1.1

Expande $(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.18.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.18.2.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.18.2.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 \cdot (2 x \cdot x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.18.2.1.2.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 \cdot (2 (x \cdot x)) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 \cdot (2 x^{2}) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2.6

Multiplica $5$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2.7

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} - 10 x + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2.8

Multiplica $2$ por $10$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} - 10 x + 20 x + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.2.9

Multiplica $10$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} - 10 x + 20 x - 20 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.3

Suma $- 2 x^{2}$ y $10 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x + 20 x - 20 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.4

Suma $- 10 x$ y $20 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x - 6) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.6

Expande $(- 2 x - 6) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.18.2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x (x - 5) - 6 (x - 5)) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 5 - 6 (x - 5)) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.18.2.1.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.18.2.1.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.18.2.1.7.1.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.7.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.7.1.2

Multiplica $- 5$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} + 10 x - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.7.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} + 10 x - 6 x + 30) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.7.2

Resta $6 x$ de $10 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} + 4 x + 30) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.8

Expande $(- 2 x^{2} + 4 x + 30) (2 x + 5)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 x^{2} (2 x) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.18.2.1.9.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 x^{2} x) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.18.2.1.9.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.18.2.1.9.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 x^{3}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.4

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 \cdot (2 x \cdot x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.18.2.1.9.6.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 \cdot (2 (x \cdot x)) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 \cdot (2 x^{2}) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.7

Multiplica $4$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.8

Multiplica $5$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 20 x + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.9

Multiplica $2$ por $30$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 20 x + 60 x + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.9.10

Multiplica $30$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 20 x + 60 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.10

Suma $- 10 x^{2}$ y $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 20 x + 60 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.1.11

Suma $20 x$ y $60 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 80 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.2

Resta $4 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 x^{2} + 80 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.3

Resta $2 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 10 x - 20 + 80 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.4

Suma $10 x$ y $80 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 90 x - 20 + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.2.5

Suma $- 20$ y $150$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 90 x + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.3

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 90 x + 130$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.18.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 6 x^{2} + 90 x + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.3.2

Factoriza $2$ de $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 90 x + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.3.3

Factoriza $2$ de $90 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (45 x) + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.3.4

Factoriza $2$ de $130$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 (65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.3.5

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 (65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.3.6

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (45 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} + 3 x^{2} + 45 x) + 2 (65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.3.7

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3} + 3 x^{2} + 45 x) + 2 (65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} + 3 x^{2} + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.4

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) + 3 x^{2} + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.5

Factoriza $- 1$ de $3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2}) + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.7

Factoriza $- 1$ de $45 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 45 x) + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 45 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x) + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.9

Reescribe $65$ como $- 1 (- 65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x) - 1 \cdot - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.10

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x) - 1 (- 65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.11

Reescribe $- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)$ como $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 3.18.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}})$

Paso 3.18.14

Multiplica $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.2.4.2

Multiplica $x^{2} + 5 x + 10$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5 x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.2.7

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.2.9

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.2.10

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + 0)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.2.11

Suma $2 x + 5$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x - - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x + 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.1.2

Expande $(- x + 1) (2 x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.3.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.2.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.1.3.1.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.1.3.1.5

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.1.3.1.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.1.3.2

Suma $- 5 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x + 10 - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.3

Resta $3 x$ de $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 10 + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2.4

Suma $10$ y $5$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 5.1.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.2

Reescribe $2$ como $- 3$ más $5$

$\frac{- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 3 x + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 3) - 5 (- x - 3)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 3$ .

$\frac{(- x - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.5

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (3)) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.7

Reescribe $- (x + 3)$ como $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.1.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x + 3) (x - 5) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 6.3.2

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 6.3.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6.3.3

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.3.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 6.3.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 6.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 5$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 3, 5$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = - 3$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Multiplica $- 3$ por ${(- 3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1.1

Multiplica $- 3$ por ${(- 3)}^{2}$ .

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Paso 10.1.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Paso 10.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{1 + 2} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Paso 10.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{3} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Paso 10.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 (- 27 + {(- 3)}^{3} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Paso 10.2.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 (- 27 - 27 - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Paso 10.2.3

Multiplica $- 45$ por $- 3$ .

$\frac{2 (- 27 - 27 + 135 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Paso 10.2.4

Resta $27$ de $- 27$ .

$\frac{2 (- 54 + 135 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Paso 10.2.5

Suma $- 54$ y $135$ .

$\frac{2 (81 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Paso 10.2.6

Resta $65$ de $81$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Paso 10.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(9 + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Paso 10.3.2

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(9 - 15 + 10)}^{3}}$

Paso 10.3.3

Resta $15$ de $9$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(- 6 + 10)}^{3}}$

Paso 10.3.4

Suma $- 6$ y $10$ .

$\frac{2 \cdot 16}{4^{3}}$

Paso 10.3.5

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 \cdot 16}{64}$

Paso 10.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.1

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{32}{64}$

Paso 10.4.2

Cancela el factor común de $32$ y $64$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.1

Factoriza $32$ de $32$ .

$\frac{32 (1)}{64}$

Paso 10.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.2.1

Factoriza $32$ de $64$ .

$\frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 2}$

Paso 10.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 2}$

Paso 10.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 11

$x = - 3$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 3$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{(- 3) - 1}{{(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Resta $1$ de $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{{(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10}$

Paso 12.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{9 + 5 (- 3) + 10}$

Paso 12.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{9 - 15 + 10}$

Paso 12.2.2.3

Resta $15$ de $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{- 6 + 10}$

Paso 12.2.2.4

Suma $- 6$ y $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{4}$

Paso 12.2.3

Divide $- 4$ por $4$ .

$f (- 3) = - 1$

Paso 12.2.4

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 5$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 ({(5)}^{3} - 3 {(5)}^{2} - 45 \cdot 5 - 65)}{{({(5)}^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 (125 - 3 \cdot 5^{2} - 45 \cdot 5 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Paso 14.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 (125 - 3 \cdot 25 - 45 \cdot 5 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Paso 14.1.3

Multiplica $- 3$ por $25$ .

$\frac{2 (125 - 75 - 45 \cdot 5 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Paso 14.1.4

Multiplica $- 45$ por $5$ .

$\frac{2 (125 - 75 - 225 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Paso 14.1.5

Resta $75$ de $125$ .

$\frac{2 (50 - 225 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Paso 14.1.6

Resta $225$ de $50$ .

$\frac{2 (- 175 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Paso 14.1.7

Resta $65$ de $- 175$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(25 + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Paso 14.2.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(25 + 25 + 10)}^{3}}$

Paso 14.2.3

Suma $25$ y $25$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(50 + 10)}^{3}}$

Paso 14.2.4

Suma $50$ y $10$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{60^{3}}$

Paso 14.2.5

Eleva $60$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{216000}$

Paso 14.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1

Multiplica $2$ por $- 240$ .

$\frac{- 480}{216000}$

Paso 14.3.2

Cancela el factor común de $- 480$ y $216000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.1

Factoriza $480$ de $- 480$ .

$\frac{480 (- 1)}{216000}$

Paso 14.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.2.1

Factoriza $480$ de $216000$ .

$\frac{480 \cdot - 1}{480 \cdot 450}$

Paso 14.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{480 \cdot - 1}{480 \cdot 450}$

Paso 14.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{450}$

Paso 14.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{450}$

Paso 15

$x = 5$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 5$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \frac{(5) - 1}{{(5)}^{2} + 5 (5) + 10}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Resta $1$ de $5$ .

$f (5) = \frac{4}{5^{2} + 5 (5) + 10}$

Paso 16.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = \frac{4}{25 + 5 (5) + 10}$

Paso 16.2.2.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$f (5) = \frac{4}{25 + 25 + 10}$

Paso 16.2.2.3

Suma $25$ y $25$ .

$f (5) = \frac{4}{50 + 10}$

Paso 16.2.2.4

Suma $50$ y $10$ .

$f (5) = \frac{4}{60}$

Paso 16.2.3

Cancela el factor común de $4$ y $60$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (5) = \frac{4 (1)}{60}$

Paso 16.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$f (5) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 15}$

Paso 16.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (5) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 15}$

Paso 16.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (5) = \frac{1}{15}$

Paso 16.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{15}$ .

$y = \frac{1}{15}$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$ .

$(- 3, - 1)$ es un mínimo local

$(5, \frac{1}{15})$ es un máximo local

Paso 18