Cálculo Ejemplos

$2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Paso 1

Escribe $2 \sin (x) + \cos (2 x)$ como una función.

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin (x) + \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$2 \cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \cos (x) - 2 \sin (2 x)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (x) - 2 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Paso 3.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Paso 3.3.7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \cos (2 x)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 \cos (x) - 2 \sin (2 x) = 0$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \cos (x) - 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Paso 6

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Paso 6.2

Factoriza $2 \cos (x)$ de $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) = 0$

Paso 6.3

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Paso 8

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 8.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 8.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 8.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 8.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 8.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 8.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 8.2.5

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 9

Establece $1 - 2 \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $1 - 2 \sin (x)$ igual a $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Paso 9.2

Resuelve $1 - 2 \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Paso 9.2.2

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 9.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 9.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 9.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Paso 9.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 9.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 9.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 9.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 9.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 9.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 9.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 9.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.6.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 9.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 9.2.7

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 2 \cdot 1 - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 12.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 12.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.3.1

Cancela el factor común.

$- 2 - 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Paso 12.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- 2 - 4 \cos (π)$

Paso 12.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- 2 - 4 (- \cos (0))$

Paso 12.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Paso 12.1.6

Multiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 12.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 1$

Paso 12.1.6.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$- 2 + 4$

Paso 12.2

Suma $- 2$ y $4$ .

$2$

Paso 13

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local

Paso 14

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 14.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 14.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 14.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 14.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 14.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (π)$

Paso 14.2.1.4

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (0)$

Paso 14.2.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 1 \cdot 1$

Paso 14.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 1$

Paso 14.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Paso 14.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 16.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 16.1.3

Multiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 16.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 16.1.3.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 16.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.1.4.1

Cancela el factor común.

$2 - 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

Paso 16.1.4.2

Reescribe la expresión.

$2 - 4 \cos (3 π)$

Paso 16.1.5

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 - 4 \cos (π)$

Paso 16.1.6

$2 - 4 (- \cos (0))$

Paso 16.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Paso 16.1.8

Multiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 - 4 \cdot - 1$

Paso 16.1.8.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$2 + 4$

Paso 16.2

Suma $2$ y $4$ .

$6$

Paso 17

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local

Paso 18

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Paso 18.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 18.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 18.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 18.2.1.3

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 18.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 18.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 18.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 18.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (3 π)$

Paso 18.2.1.5

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (π)$

Paso 18.2.1.6

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (0)$

Paso 18.2.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 1 \cdot 1$

Paso 18.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 1$

Paso 18.2.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3$

Paso 18.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$y = - 3$

Paso 19

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (\frac{π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 20

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 20.1

Simplifica cada término.

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Paso 20.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 20.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 20.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 20.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 20.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.1.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Paso 20.1.3.2

Cancela el factor común.

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Paso 20.1.3.3

Reescribe la expresión.

$- 1 - 4 \cos (\frac{π}{3})$

Paso 20.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - 4 (\frac{1}{2})$

Paso 20.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$- 1 + 2 (- 2) \frac{1}{2}$

Paso 20.1.5.2

Cancela el factor común.

$- 1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2}$

Paso 20.1.5.3

Reescribe la expresión.

$- 1 - 2$

Paso 20.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- 3$

Paso 21

$x = \frac{π}{6}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{6}$ es un máximo local

Paso 22

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{6}$ .

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Paso 22.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 22.2

Simplifica el resultado.

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Paso 22.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 22.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 22.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 22.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Paso 22.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Paso 22.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 22.2.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \frac{1}{2}$

Paso 22.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 22.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 22.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 + 1}{2}$

Paso 22.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

Paso 22.2.3

La respuesta final es $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Paso 23

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5 π}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (\frac{5 π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 24

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 24.1

Simplifica cada término.

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Paso 24.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 2 \sin (\frac{π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 24.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 24.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 24.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 24.1.3.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 24.1.3.3

Reescribe la expresión.

$- 1 - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 24.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 24.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Paso 24.1.4.2

Cancela el factor común.

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Paso 24.1.4.3

Reescribe la expresión.

$- 1 - 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 24.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 1 - 4 \cos (\frac{π}{3})$

Paso 24.1.6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - 4 (\frac{1}{2})$

Paso 24.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 24.1.7.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$- 1 + 2 (- 2) \frac{1}{2}$

Paso 24.1.7.2

Cancela el factor común.

$- 1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2}$

Paso 24.1.7.3

Reescribe la expresión.

$- 1 - 2$

Paso 24.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- 3$

Paso 25

$x = \frac{5 π}{6}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{5 π}{6}$ es un máximo local

Paso 26

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Paso 26.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \sin (\frac{5 π}{6}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 26.2

Simplifica el resultado.

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Paso 26.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 26.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 26.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 26.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 26.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 26.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 26.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 26.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Paso 26.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Paso 26.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 26.2.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 26.2.1.6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \frac{1}{2}$

Paso 26.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 26.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 26.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{2 + 1}{2}$

Paso 26.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{3}{2}$

Paso 26.2.3

La respuesta final es $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Paso 27

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ es un mínimo local

$(\frac{3 π}{2}, - 3)$ es un mínimo local

$(\frac{π}{6}, \frac{3}{2})$ es un máximo local

$(\frac{5 π}{6}, \frac{3}{2})$ es un máximo local

Paso 28