Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{8 x + 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 8 x + 3$ .

$\frac{(8 x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 + 0)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Paso 4.2

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x \cdot 1 + 3 \cdot 1 - x \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Combina los términos opuestos en $8 x \cdot 1 + 3 \cdot 1 - x \cdot 8$ .

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Paso 5.2.1.1

Reordena los factores en los términos $8 x \cdot 1$ y $- x \cdot 8$ .

$\frac{1 \cdot 8 x + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 8 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Resta $8 x$ de $1 \cdot 8 x$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 0}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Suma $3 \cdot 1$ y $0$ .

$\frac{3 \cdot 1}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3}{{(8 x + 3)}^{2}}$