Cálculo Ejemplos

$- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1

Esta derivada no pudo completarse mediante la regla del cociente. Mathway usará otro método.

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $- 12 y^{\frac{3}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ como ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

Paso 4.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

Paso 4.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.5

Como $12 y^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Mueve $12$ a la izquierda de ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} (12 \cdot {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6.2

Multiplica $12$ por $12$ .

$144 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$144 y^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$144 y^{\frac{1 + 3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.2

Suma $1$ y $3$ .

$144 y^{\frac{4}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común.

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$144 y^{\frac{2}{1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \cdot 1)$

Paso 8

Multiplica ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ por $1$ .

$144 y^{2} {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$144 y^{2} \frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.2

Combina los términos.

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Paso 9.2.1

Combina $144$ y $\frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$y^{2} \frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.2.2

Combina $y^{2}$ y $\frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.2.3

Mueve $144$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{144 y^{2}}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3

Reordena los términos.

$\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$

Paso 9.4

Reordena los factores en $\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{144 y^{2}}{{(12 x y^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$