Cálculo Ejemplos

$- \frac{5 y}{5 x + 2 y}$

Paso 1

Esta derivada no pudo completarse mediante la regla del cociente. Mathway usará otro método.

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $- 5 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5 y}{5 x + 2 y}$ con respecto a $x$ es $- 5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2 y}]$ .

$- 5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2 y}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{5 x + 2 y}$ como ${(5 x + 2 y)}^{- 1}$ .

$- 5 y \frac{d}{d x} [{(5 x + 2 y)}^{- 1}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 5 x + 2 y$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x + 2 y$ .

$- 5 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 5 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x + 2 y$ .

$- 5 y (- {(5 x + 2 y)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Paso 4.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Paso 4.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Paso 4.6

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 + 0))$

Paso 4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.1

Suma $5$ y $0$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} \cdot 5)$

Paso 4.7.2

Mueve $5$ a la izquierda de ${(5 x + 2 y)}^{- 2}$ .

$5 y (5 \cdot {(5 x + 2 y)}^{- 2})$

Paso 4.7.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$25 y {(5 x + 2 y)}^{- 2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 y \frac{1}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $25$ y $\frac{1}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$ .

$y \frac{25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Combina $y$ y $\frac{25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$ .

$\frac{y \cdot 25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Paso 5.2.3

Mueve $25$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{25 y}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$