Cálculo Ejemplos

$s = \frac{t^{2} + 5 t - 1}{t^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ es $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ donde $f (s) = t^{2} + 5 t - 1$ y $g (s) = t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d s} [t^{2} + 5 t - 1] - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 5 t - 1$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [5 t] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [5 t] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Como $t^{2}$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $t^{2}$ con respecto a $s$ es $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d s} [5 t] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Como $5 t$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $5 t$ con respecto a $s$ es $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + 0 + \frac{d}{d s} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $s$ es $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + 0 + 0) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 3

Combina los términos.

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Paso 3.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + 0) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{t^{2} \cdot 0 - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 4

Como $t^{2}$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $t^{2}$ con respecto a $s$ es $0$ .

$\frac{t^{2} \cdot 0 - (t^{2} + 5 t - 1) \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} \cdot 0 + (- t^{2} - (5 t) - - 1) \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} \cdot 0 - t^{2} \cdot 0 - (5 t) \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Resta $t^{2} \cdot 0$ de $t^{2} \cdot 0$ .

$\frac{0 - (5 t) \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Resta $5 t \cdot 0$ de $0$ .

$\frac{- (5 t) \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 t \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $- 5 t \cdot 0$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Multiplica $0$ por $- 5$ .

$\frac{0 t - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.3.2.2

Multiplica $0$ por $t$ .

$\frac{0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $- - 1 \cdot 0$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{0 + 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.3.3.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0 + 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.4

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{t^{2 \cdot 2}}$

Paso 5.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0}{t^{4}}$

Paso 5.5

Divide $0$ por $t^{4}$ .

$0$