Cálculo Ejemplos

$s = \frac{t^{2} + 5 t - 1}{t^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2} + 5 t - 1$ y $g (t) = t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 1] - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 5 t - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5 + 0) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 4.2

Suma $2 t + 5$ y $0$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t - 1) (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} (2 t) + t^{2} \cdot 5 - (t^{2} + 5 t - 1) (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} (2 t) + t^{2} \cdot 5 + (- t^{2} - (5 t) - - 1) (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} (2 t) + t^{2} \cdot 5 - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 t^{2} t + t^{2} \cdot 5 - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.1.2.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + t^{2} \cdot 5 - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.2.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 5.4.1.2.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + t^{2} \cdot 5 - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 t^{1 + 2} + t^{2} \cdot 5 - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 t^{3} + t^{2} \cdot 5 - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $t^{2}$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 \cdot t^{2} - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} t - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.5

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.1.5.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.5.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 5.4.1.5.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{1 + 2} - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{3} - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.7

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.1.7.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - (5 (t \cdot t)) \cdot 2 - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.7.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - (5 t^{2}) \cdot 2 - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.8

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - 5 t^{2} \cdot 2 - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.9

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - 10 t^{2} - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - 10 t^{2} + 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.1.11

Multiplica $2 t$ por $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.2

Combina los términos opuestos en $2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t$ .

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Paso 5.4.2.1

Resta $2 t^{3}$ de $2 t^{3}$ .

$\frac{5 t^{2} + 0 - 10 t^{2} + 2 t}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.2.2

Suma $5 t^{2}$ y $0$ .

$\frac{5 t^{2} - 10 t^{2} + 2 t}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.4.3

Resta $10 t^{2}$ de $5 t^{2}$ .

$\frac{- 5 t^{2} + 2 t}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 5.5

Combina los términos.

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Paso 5.5.1

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 5 t^{2} + 2 t}{t^{2 \cdot 2}}$

Paso 5.5.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 5 t^{2} + 2 t}{t^{4}}$

Paso 5.5.2

Factoriza $t$ de $- 5 t^{2} + 2 t$ .

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Paso 5.5.2.1

Factoriza $t$ de $- 5 t^{2}$ .

$\frac{t (- 5 t) + 2 t}{t^{4}}$

Paso 5.5.2.2

Factoriza $t$ de $2 t$ .

$\frac{t (- 5 t) + t \cdot 2}{t^{4}}$

Paso 5.5.2.3

Factoriza $t$ de $t (- 5 t) + t \cdot 2$ .

$\frac{t (- 5 t + 2)}{t^{4}}$

Paso 5.5.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1

Factoriza $t$ de $t^{4}$ .

$\frac{t (- 5 t + 2)}{t \cdot t^{3}}$

Paso 5.5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{t (- 5 t + 2)}{t \cdot t^{3}}$

Paso 5.5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 t + 2}{t^{3}}$

Paso 5.6

Factoriza $- 1$ de $- 5 t$ .

$\frac{- (5 t) + 2}{t^{3}}$

Paso 5.7

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 t) - 1 (- 2)}{t^{3}}$

Paso 5.8

Factoriza $- 1$ de $- (5 t) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 t - 2)}{t^{3}}$

Paso 5.9

Reescribe $- (5 t - 2)$ como $- 1 (5 t - 2)$ .

$\frac{- 1 (5 t - 2)}{t^{3}}$

Paso 5.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 t - 2}{t^{3}}$